2020高中数学 第二章 随机变量及其分布章末评估验收 新人教A版选修2-3

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第二章 随机变量及其分布

章末评估验收(二)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ)，P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ) A．0.477 C．0.954

B．0.628 D．0.977

2

解析：因为P(ξ＞2)＝0.023，所以P(ξ＜－2)＝0.023，故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝0.954，故选C.

答案：C

2.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跑的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是( )

1

A. 34C. 9

2B. 9D.8 27

解析：青蛙跳三次要回到A只有两条途径： 第一条：按A→B→C，

P1＝××＝；

第二条，按A→C→B，

222833327

P2＝××＝. 所以跳三次之后停在A叶上的概率为

111133327

P＝P1＋P2＝＋＝. 答案：A

3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下：

81127273

ξ 1 3 5 精品 P 则数学期望E(ξ)等于( ) 0.5 m 0.2 A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2.4

解析：由题意得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，故选D. 答案：D

4．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是( ) 3157A. B. C. D. 8288

?1?7解析：P(至少有一枚正面)＝1－P(三枚均为反面)＝1－??＝. ?2?8

答案：D

3

?1?5．已知随机变量X～B?6，?，则D(2X＋1)等于( ) ?2?

A．6 B．4 C．3 D．9

解析：因为D(2X＋1)＝D(X)×2＝4D(X)，

2

D(X)＝6××?1－?＝，

2

1?2?

1?

?

32

3

所以D(2X＋1)＝4×＝6.

2答案：A

2

6．在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是( )

3A.

408011020 B. C. D. 243243243243

3

2

?2?803?2?解析：所求概率为C5??×?1－?＝. ?3??3?243

答案：B

1??7．设X～N?－2，?，则X落在(－∞，－3.5)∪(－0.5，＋∞)内的概率是( ) 4??A．95.45% C．4.55%

B．99.73% D．0.27%

1?11?1??解析：由X～N?－2，?知，μ＝－2，σ＝，则P(－3.5≤X≤－0.5)＝P?－2－3×≤X≤－2＋3×?＝0.997 4?22?2??3.

故所求概率为1－0.997 3＝0.002 7＝0.27%. 答案：D

8．有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为( ) A.

5218

B. C. D. 217321

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解析：从10个球中任取4个，取法有C＝210(种)，取出的编号互不相同的取法有C·2＝80(种)，所以所808

求概率P＝＝. 21021

答案：D

9．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为( )

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4

11111

解析：P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，…，6)，所以E(ξ)＝1×＋2×＋…＋6×＝(1＋2＋…＋6)×＝3.5.

66666答案：C

10．一批型号相同的产品，有2件次品，5件正品，每次抽一件测试，将2件次品全部区分出后停止，假定抽后不放回，则第5次测试后停止的概率是( )

A.

151020

B. C. D. 21212121

4

1045

4

25431524315423154321543215

解析：P＝××××＋××××＋××××＋××××＋××××＝. 765437654376543765437654321答案：B

11．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝( ) A．0.16 C．0.68

B．0.32 D．0.84

2

解析：因为P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，所以P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A. 答案：A

12．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为( )

1111A. B. C. D. 32126

11?3a＋b?1111解析：由条件知，3a＋b＝1，所以ab＝(3a)·b≤?＝，等号在3a＝b＝，即a＝，b＝时成立． ?33?2?12262答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若随机变量X～N(μ，σ)，则P(X≤μ)＝________．

12

解析：因为X～N(μ，σ)，所以由正态分布图象可知对称轴为直线x＝μ，所以P(X≤μ)＝.

21答案：

2

14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．

2

2

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解析：P(敌机被击中)＝1－P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8. 答案：0.8

15．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝________．

3C31

解析：由条件知，P(A)＝，P(AB)＝2＝，

4C42所以P(B|A)＝2

答案： 3

16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．

解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.8＝0.128.

答案：0.128

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6、0.5，移栽后成活的概率分别为0.7、0.9.

(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； (2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．

解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件A1、A2；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件B1、B2，P(A1)＝0.6，

2

2

P（AB）2

＝. P（A）3

P(A2)＝0.5，P(B1)＝0.7，P(B2)＝0.9.

(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A1A2)＝1－0.4×0.5＝0.8.

(2)法一 分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A，B，则P(A)＝P(A1B1)＝0.42，P(B)＝P(A2B2)＝0.45. 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

P(AB＋AB)＝0.42×0.55＋0.58×0.45＝0.492.

法二 恰好有一种果树栽培成活的概率为

P(A1B1A2＋A1B1A2B2＋A1A2B2＋A1A2B1B2)＝0.492.

18.(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望． (注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数) C4＋C35解：(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P＝3＝. C984C4C5＋C417

(2)X的所有可能值为1，2，3，且P(X＝1)＝＝； 3

C942

21

3

3

3

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P(X＝2)＝

CCC＋CC＋C43

＝； 3

C984

21

111

342213633

C2C71

P(X＝3)＝3＝. C912故X的分布列为： X P 1743147从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

42841228

1 17 422 43 843 1 1219．(本小题满分12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．

(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；

(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)． C41C4C23解：(1)ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝3＝，

C65C65C4C21

P(ξ＝2)＝3＝.

C65所以ξ的分布列为： 12

3

21

ξ P (2)设“甲、乙都不被选中”为事件C， C441

则P(C)＝3＝＝.

C6205

14

所以所求概率为P(C)＝1－P(C)＝1－＝. 55C5101C442

(3)P(B)＝3＝＝；P(B|A)＝2＝＝.

C6202C5105

2

1

3

0 1 51 3 52 1 520．(本小题满分12分)某车站每天上午发出两班客车，每班客车发车时刻和发车概率如下： 111

第一班车：在8：00，8：20，8：40发车的概率分别为，，；

424111

第二班车：在9：00，9：20，9：40发车的概率分别为，，. 424两班车发车时刻是相互独立的，一位旅客8：10到达车站乘车． 求：(1)该旅客乘第一班车的概率； (2)该旅客候车时间(单位：分钟)的分布列．

解：(1)记第一班车在8：20和8：40发生的事件分别为A和B，则A、B互斥．