考点强化练18 相似三角形
夯实基础
1.(2018·广东)在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为( )
A. B. C. D. 答案C
解析相似三角形面积比等于相似比的平方,由中位线性质知相似比为1∶2,所以△ADE与△ABC的面积之比为. 2.
(2018·浙江义乌)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( )
A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m 答案C
解析∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠ABO=∠CDO=90°,∠AOB=∠COD(对顶角相等), ∴△AOB∽△COD, ∴,
∴CD=0.4m,故选C. 3.
(2017·四川攀枝花)如图,D是等边△ABC边AB上的点,AD=2,BD=4.现将△ABC折叠,使得点C与点D重合,折痕为EF,且点E,F分别在边AC和BC上,则= .? 答案
解析由题易知∠A=∠B=∠EDF=60°, ∴∠AED=∠FDB. ∴△AED∽△BDF,∴.
由翻折易知EC=ED,FC=FD, ∴.∴. 4.
(2018·四川巴中)如图,已知在△ABC中,BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F,且∠BAC=45°,BD=6,CD=4,则△ABC的面积为 .? 答案60
解析先推导出△ABE是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质可得AE=BE, 利用同角的余角相等求出∠1=∠2,然后利用“角边角”证明△AFE和△BCE全等;
求出BC的长为6+4=10,再根据全等三角形对应边相等可得AF=BC=10,然后求出△ACD和△BFD相似,设DF=x. ∵△ADC∽△BDF, ∴,∴.
整理得x2+10x-24=0,解得x=2或-12(舍弃), ∴AD=AF+DF=12,
∴S△ABC=·BC·AD=×10×12=60. 5.
(2018·江苏常州)如图,在△ABC纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是 .? 答案3≤AP<4
解析如图(1),当P在AC上运动时,都有PE∥BC,PG∥AB,∠APD=∠B,有三种相似,即△CPG∽△CAB,△APE∽△ABC,△APD∽△ABC,
图(1)
当∠CPF=∠B时,点F如果与B重合如图(2), 则△CBP∽△CAB,∴,求得CP=1, ∴PA=3,
图(2)
所以AP的取值范围是3≤AP<4.
6.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m,斜边AC长为2.5 m,面积为1.5 m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,请甲、乙两位同学进行设计加工方案,甲设计方案如图1,乙设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案较好?试说明理由.(加工损耗忽略不计,计算结果中可保留分数)
解甲同学设计的方案较好,理由如下:
由AB=1.5m,S△ABC=1.5m2,可得BC=2m. 图1中,甲设计的正方形桌面边长为xm, 由DE∥AB,得Rt△CDE∽Rt△CBA. 所以,即.
所以3-1.5x=2x.解得x=.
图2中,乙设计的桌面的边长为ym, 由AC·BH=AB·BC,得BH=1.2m.
因为DE∥AC,所以Rt△BDE∽Rt△BAC. 所以.即.解得y=. 因为,所以x2>y2.
所以甲同学设计的方案较好. 7.(2018·山东莱芜)已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)得到△AD'E',连接BD'、CE',如图1.
(1)求证:BD'=CE'.
(2)如图2,当α=60°时,设AB与D'E'交于点F,求的值. (1)证明∵AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点, ∴AD=BD=AE=EC.
由旋转的性质可知:∠DAD'=∠EAE'=α,AD'=AD,AE'=AE.∴AD'=AE', ∴△BD'A≌△CE'A,∴BD'=CE'. (2)解连接DD'.
∵∠DAD'=60°,AD=AD', ∴△ADD'是等边三角形.
∴∠ADD'=∠AD'D=60°,DD'=DA=DB. ∴∠DBD'=∠DD'B=30°,∴∠BD'A=90°. ∵∠D'AE'=90°,∴∠BAE'=30°, ∴∠BAE'=∠ABD'.
∵∠BFD'=∠AFE',∴△BFD'∽△AFE', ∴.
∵在Rt△ABD'中,tan∠BAD'=, ∴. 8.(2016·浙江宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形,
另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线; (2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数; (3)如图2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
解(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,
∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形, ∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°, ∴∠BCD=∠A=40°,
又∠A=40°,∴∠A=∠ACD,
∴AD=CD,△ACD为等腰三角形, 又∵∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC.
∴CD是△ABC的完美分割线. (2)当AD=CD时(如图①), ∠ACD=∠A=48°.
∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°. 当AD=AC时(如图②), ∠ACD=∠ADC==66°.
∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°. 当AC=CD时,∠ADC=∠A=48°,
∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°, 这与∠ADC>∠BCD矛盾,舍去. 综上所述,∠ACB=96°或114°. (3)由已知得AC=AD=2. ∵△BCD∽△BAC, ∴,设BD=x,
则()2=x·(x+2),解得x=-1±, ∵x>0,∴x=-1.
∵△BCD∽△BAC,∴,
∴CD=×2=-1)=. ?导学号16734121? 提升能力 9.
(2018·内蒙古包头)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一个动点(不与点A、B重合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE.下列结论:
①△ACE≌△BCD;
②若∠BCD=25°,则∠AED=65°; ③DE2=2CF·CA;
④若AB=3,AD=2BD,则AF=.
其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)? 答案①②③
解析①由题意易得∠BCD=∠ACE,由“边角边”证明△ACE≌△BCD,故①正确; ②∵△ACE≌△BCD, ∴∠CAE=∠CBD=45°.
∵∠BCD=25°,∴∠ACE=∠BCD=25°.
∴∠AED=∠AEC-∠CED=(180°-25°-45°)-45°=65°,故②正确; ③∵∠CAE=∠CED=45°,∠ACE=∠FCE, ∴△ACE∽△ECF,∴, 即EC2=AC·FC.
在Rt△DCE中,DE2=2CE2=2FC·AC, ∴DE2=2CF·CA,故③正确;
④作DM⊥BC于点M,∴DM=BM=1. ∴CM=3-1=2,∴DC=CE=. 由③可知DE2=2CF·CA, ∴(CE)2=2×3×FC. ∴FC=.
∴AF=3-,故④错误.
10.(2018·海南)已知,如图1,在?ABCD中,点E是AB中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点F.
图1
图2
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)如图2,点G是边BC上任意一点(点G不与点B,C重合),连接AG交DF于点H,连接HC,过点A作AK∥HC,交DF于点K. ①求证:HC=2AK;
②当点G是边BC中点时,恰有HD=n·HK(n为正整数),求n的值. 解(1)证明:在?ABCD中,有AD∥BC, ∴∠ADE=∠F.
∵点E是AB中点,∴AE=BE.
∵∠AED=∠BEF,∴△ADE≌△BFE. (2)①在?ABCD中,有AB∥CD,AB=CD. ∴∠AEK=∠CDH,∵AK∥HC,
∴∠AKE=∠CHD,∴△AEK∽△CDH. ∴.
∵E是边AB的中点,∴2AE=AB=CD, ∴HC=2AK.
②当点G是边BC中点时,
在?ABCD中,有AD∥BC,AD=BC, ∴△AHD∽△GHF, ∴.
由(1)得,△ADE≌△BFE,∴AD=BF. ∵G是BC中点,∴2BG=AD=BF, ∴,∴DH=HF.
∵AD∥FC,∴∠ADK=∠F.∵AK∥HC, ∴∠AKH=∠CHK,∴∠AKD=∠CHF. ∴△AKD∽△CHF.
∴,∴KD=HF,HK=HD-KD=HF,∴=4,∴n=4.
11.(2017·辽宁大连)如图1,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,∠ABD+∠ADB=∠ACB.
(1)填空:∠BAD与∠ACB的数量关系为 ;? (2)求的值;
(3)将△ACD沿CD翻折,得到△A'CD(如图2),连接BA',与CD相交于点P.若CD=,求PC的长.
解(1)∠BAD+∠ACB=180°
(2)如图,作DE∥AB,交AC于点E, 则∠DEA=∠BAE, ∠OBA=∠ODE, 又∵OB=OD,
∴△OAB≌△OED(AAS). ∴AB=DE,OA=OE.
设AB=DE=CE=x,OA=OE=y, ∵∠EDA+∠DAB=180°, ∴∠EDA=∠ACB.
∵∠DEA=∠EAB,∴△EAD∽△ABC. ∴,
即,4y2+2xy-x2=0. ∴-1=0,解得. ∴.
(3)∵DE=CE,∠DCA=∠DCA', ∴DE∥CA'.
∵AB∥DE,∴AB∥CA'. ∴∠ABC+∠A'CB=180°. ∵△EAD∽△ACB,
∴∠DAE=∠BCA=∠DA'E.
∴∠DA'E+∠BCA'=180°,∴A'D∥BC.
∴△PA'D∽△PBC,∴PC=CD=1. ?导学号16734122? 创新拓展
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5 cm,∠BAC=60°,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t秒(0≤t≤5),连接MN. (1)若BM=BN,求t的值;
(2)若△MBN与△ABC相似,求t的值;
(3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值. 解(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,∠BAC=60°, ∴AB=10,BC=5.
由题意知BM=2t,CN=t,BN=5t, 由BM=BN,得2t=5t. 解得t==10-15.
(2)①当△MBN∽△ABC时,, 即.解得t=.
②当△NBM∽△ABC时,, 即.解得t=.
综上所述,当t=或t=时,△MBN与△ABC相似.
(3)如图,过M作MD⊥BC于点D,则MD=t.设四边形ACNM的面积为y, 则y=S△ABC-S△BMN =AC·BC-BN·MD =×5×5(5t)·t=t2-t+ =.
根据二次函数的性质可知,当t=时,
y的值最小,此时,y最小=. ?导学号16734123?
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