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2010年高考数学复习讲座
——导数在函数解题中的应用
应用导数求解函数的相关问题，已成为当今高考的必考内容，这类考题在试卷中所占分数比例也随着教育的发展其分值也不断增大，仅全国卷（Ⅰ）卷中，用导数解函数问题的考题有三道，共有分数29分，约占全试卷分数的20%，有关专家认为：由于导数在工农业生产中的广泛应用，已成为大学各专业课程的不可缺少的基础课内容，所以今后的高考也将作为学生必须加强的考试内容。为了让2009届考生能成功地应对该知识点的考试，我们特成本稿供同学们参考。
根据2009年的考试大纲，我们预计湖南卷利用导数的考题将会在15%—20%之间，其考题难度可能与09年持平，综合2008年或者2009年理二科试卷，各省市命题点可能落在利用导数讨论函数的单调区间和求参变量的取值范围、求函数参变量的值与在反指定区间内的极值、利用导数法解函数证明题与应用题、利用导数法求解解析几何问题等七种题型上。现在我们来依一举例说明。
一、利用导数讨论函数的单调区间和求参变量的取值范围、 这类题型是2008年命题概率最大的一类，讨论函数的单调区间的解题步骤通常有三步：首先是对函数求导、其次是求f?(x)＞0或f?(x)＜0的区间，再判断函数的增减性。而求函数参变量的取值范围的解题方法是：想方设法利用求导法建立导函数不等式或不等式组来求解。
例1、全国理19．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x?ax?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；
32??内是减函数，求a的取值范围． （Ⅱ）设函数f(x)在区间??，?2?31?3?a?a2?3? 解：（1）f(x)?x?ax?x?1求导：f?(x)?3x?2ax?1?3?x???
3?3?3222∴当a2≤3时，得 f?(x)≥0，f(x)在R上递增
?a?a2?3而当a?3时，f?(x)?0求得两根为x?
32???a?a2?3?a?a2?3??a?a2?3?，即f(x)在???，?递增，??递减，
????333????学习必备 欢迎下载
??a?a2?3?，???递增 ???3????内是减函数， （2）又∵f(x)在区间??，22?21???a?a?3?a?a?3?，????∴??，?
??33?33????2?31?3???a???∴???a???a2?32≤?33，且a2?31≥?337a2?3解得：a≥
4二、求函数参变量的值与在指定区间内的极值、
求函数多元参变量的值的主体思路是根据已知条件直接得到参数之间的关系式或者利用导函数条件与图象性质得到特殊关系、然后得方程或方程组求解。而在指定区间内求函数的极值时，则需首先要讨论函数的单调区间，特殊情况还需在给定条件范围内构造新的函数，然后通过讨论新的构造函数的单调性，找到构造函数的增减区间，进而找到该函数的极值点，再求得函数的极值。
例2. （08福建文21）. 已知函数f(x)?x?mx?nx?2的图像过点（-1，-6），且函数g(x)?f'(x)?6x的图像关于y轴对称。
（1）求m,n的值及函数y?f(x)的单调区间；
（2）若a>0，求函数y?f(x)在区间(a?1,a?1)内的极值。 解：（1）由函数f (x)图像过（-1，-6），得m-n=-3，……① 由f(x)?x?mx?nx?2，得：f'(x)?3x?2mx?n 而g(x)?3x?(2m?6)x?n图像关于y轴对称，所以：?代入①得n=0
于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)>得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f′(x)<0得0 故f(x)的单调递减区间是（0，2）. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2), 令f′(x)＝0得x=0或x=2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： X f′(x) (-∞.0) + 0 0 (0,2) － 2 0 (2,+ ∞) ＋ 2322322m?6?0，即m=-3, 2?3学习必备 欢迎下载 f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由此可得： 当0 当1 综上得：当0 x2例3（08湖南理21）已知函数f(x)=ln(1+x)-. 1?x2 (I) 求函数f(x)的单调区间; （Ⅱ）若不等式(1?1n?a)?e对任意的n?N*都成立（其中e是自然对数的底数）. n求?的最大值. 解: （Ⅰ）函数f(x)的定义域是(?1,??)， 2ln(1?x)x2?2x2(1?x)ln(1?x)?x2?2xf?(x)???. 221?x(1?x)(1?x)设g(x)?2(1?x)ln(1?x)?x?2x,则g?(x)?2ln(1?x)?2x. 令h(x)?2ln(1?x)?2x,则h?(x)?22?2x?2?. 1?x1?x当?1?x?0时， h?(x)?0, h(x)在（-1，0）上为增函数， 当x＞0时，h?(x)?0,h(x)在(0,??)上为减函数. 所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以g?(x)?0(x?0)， 函数g(x)在(?1,??)上为减函数.于是当?1?x?0时，g(x)?g(0)?0, 当x＞0时，g(x)?g(0)?0. 所以，当?1?x?0时，f?(x)?0,f(x)在（-1，0）上为增函数. 当x＞0时，f?(x)?0,f(x)在(0,??)上为减函数. 故函数f(x)的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,??). （Ⅱ）不等式(1?)1nn?a11?e等价于不等式(n?a)ln(1?)?1.由1??1知， nn
高三数学专题讲座复习
