学案6 习题课：天体运动
[学习目标定位] 1.掌握解决天体运动问题的思路和方法.2.理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别.3.会分析卫星(或飞船)的变轨问题.4.掌握双星的运动特点及其问题的分析方法．
一、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比． Gm1m22．公式F＝2. r
二、卫星运动中几个概念的区别 1．天体半径和卫星的轨道半径
通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径；卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径． 2．自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身轴线运动一周所用的时间；公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等(填“相等”或“不相等”)． 三、卫星的线速度、角速度、周期、向心力
v2GMm4π22
卫星所受万有引力提供向心力，即由2＝ma＝m＝mωr＝m2r
rrTGM
得：a＝2、v＝
r越小，T越大.
GM
、ω＝ r
GM
、T＝2π r3r3，故可看出，轨道半径越大，a、v、ωGM
一、分析天体运动问题的思路
解决天体运动问题的基本思路，行星或卫星的运动一般可看作匀速圆周运动，所需要的向心GMm
力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体运动时可建立基本关系式：2＝ma，
r式中a是向心加速度．常用的关系式为
vMm4π22
1．G2＝m＝mωr＝m2r，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力，可得v、ω、T
rrT
2
与半径r的关系．
Mm
2．忽略自转mg＝G2，即物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力．此式两个用途：RGM
①求星体表面的重力加速度g＝2，从而把万有引力定律与运动学公式结合解题．②黄金代R换式GM＝gR2.
例1 地球半径为R0，地面重力加速度为g，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则( ) A．卫星速度为
2R0g
2
g 8R0
B．卫星的角速度为 g
C．卫星的加速度为
2D．卫星周期为2π
2R0 g
v2GMm4π22
解析 由＝mω(2R0)＝m2(2R0)及GM＝gR22＝man＝m0 2R0T?2R0?g
可得卫星的向心加速度an＝，角速度ω＝
4线速度v＝答案 AB
二、赤道物体、同步卫星和近地卫星转动量的比较
赤道上的物体、同步卫星和近地卫星都近似做匀速圆周运动，当比较它们的向心加速度、线速度及角速度(或周期)时，要注意找出它们的共同点，然后再比较各物理量的大小． 1．赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度和周期，如同一圆盘上不同半径的两个点，由v＝ωr和a＝ω2r可分别判断线速度，向心加速度的关系．
v2GMm
2．不同轨道上的卫星向心力来源相同，即万有引力提供向心力，由2＝ma＝m＝mω2r
rr4π2GM
＝mr2可分别得到a＝2、v＝
Trω＝
GM
及T＝2π r3GM r
2R0g
，周期T＝2π 2
g 8R0
8R0，所以A、B正确，C、D错误． g
r3，故可以看出，轨道半径越大，a、v、ω越小，T越大． GM
例2 如图1所示，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则( )
图1
A．v1＞v2＞v3 C．a1＞a2＞a3 解析 卫星的速度v＝
B．v1＜v2＜v3 D．a1＜a3＜a2
GM，可见卫星距离地心越远，即r越大，则速度越小，所以v3＜r
v2.q是同步卫星，其角速度ω与地球自转角速度相同，所以其线速度v3＝ωr3＞v1＝ωr1，选项A、B均错误．
MmGM
由G2＝ma，得a＝2，同步卫星q的轨道半径大于近地资源卫星p的轨道半径，可知q
rr的向心加速度a3＜a2.由于同步卫星q的角速度ω与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘e的角速度相同，但q轨道半径大于e的轨道半径，根据a＝ω2r可知a1＜a3.根据以上分析可知，选项D正确，选项C错误． 答案 D
三、人造卫星的变轨问题
v2GMm
1．卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时，2＝m成立．
rr
2．卫星变轨时，是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化．
v2
(1)当人造卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星r将做近心运动，向低轨道变迁．
v2
(2)当人造卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向r心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁．
3．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同． 4．飞船对接：两飞船对接前应处于高、低不同的轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接．
例3 2013年5月2日凌晨0时06分，我国“中星11号”通信卫星发射成功．“中星11号”是一颗地球同步卫星，它主要用于为亚太地区等区域用户提供商业通信服务．图2为发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )
图2
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过Q点时的速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的速度小于它在轨道3上经过P点时的速度 解析 同步卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有： v2Mm
G2＝m，v＝ rr
GM r
v
因为r1＜r3，所以v1＞v3，由ω＝得ω1＞ω3
r
在Q点，卫星沿着圆轨道1运行与沿着椭圆轨道2运行时所受的万有引力相等，在圆轨道1mv21
上引力刚好等于向心力，即F＝.而在椭圆轨道2上卫星做离心运动，说明引力不足以提供
rmv22
卫星以v2速率做匀速圆周运动时所需的向心力，即F＜，所以v2＞v1.
r
卫星在椭圆轨道2上运行到远地点P时，根据机械能守恒可知此时的速率v2′＜v2，在P点卫星沿椭圆轨道2运行与沿着圆轨道3运行时所受的地球引力也相等，但是卫星在椭圆轨道2v2′2上做近心运动，说明F′＞m，卫星在圆轨道3上运行时引力刚好等于向心力，即F′＝
rv23
m，所以v2′＜v3. r
由以上可知，速率从大到小排列为：v2＞v1＞v3＞v2′ 答案 D 四、双星问题
1．双星：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星． 2．双星问题的特点
(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度相同．
(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.
3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即m1ω2r1＝m2ω2r2.
4．双星问题的两个结论： (1)运动半径：m1r1＝m2r2
Gm1m2＝L24π2L3
(2)质量之和：m1＋m2＝ GT2例4 宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起．设两者的质量分别为m1和m2，两者相距为L.求：
(1)双星的轨道半径之比； (2)双星的线速度之比； (3)双星的角速度．
解析 这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而被吸引在一起，从而保持两星间距离L不变，且两者做匀速圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，两者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2.由万有引力提供向心力，有 m1m2G2＝m1ω2R1① Lm1m2G2＝m2ω2R2② L
R1m2(1)由①②两式相除，得＝.
R2m1v1R1m2(2)因为v＝ωR，所以＝＝.
v2R2m1(3)由几何关系知R1＋R2＝L③ 联立①②③式解得ω＝ m2m2答案 (1) (2) (3)
m1m1
G?m1＋m2?
. L3G?m1＋m2?
L3
1．(赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是( ) a1rA.＝ a2Rv1rC.＝ v2R答案 AD
解析 设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上物体的质量为m2，近地卫星的质量为m2′，根据向心加速度和角速度的关系有：
a1RB.＝()2 a2rv1D.＝v2
R r
2016-2017学年高中物理人教版必修2学案：第六章 6 习题课：天体运动 Word版含解析高品质版
