2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题
第一天
1. 如图1，在圆内接ABC中，?A为最大角，不含点A的弧BC上两点D、E分别为弧
ABC、ACB的中点。记过点A、B且与AC相切的圆为O1，过点A、E且与AD相切的圆为
2. 给定质数p。设A?(aij)是一个p?p的矩阵，满足{aij|1?i、j?p}?{1,2, ,p2}。
O2，O1与O2交于点A、P。证明：AP平分?ABC。
允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A中元素全变为0，则称A是一个“好矩阵”。求好矩阵A的个数。
3.证明：对于任意实数M?2，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列a1,a2,（1） 对每个正整数i，有ai?M；
（2） 当且仅当整数n?0时，存在正整数m以及b1,b2,i：
,bm?{?1,1}使得
n?b1a1?b2a2?
?bmam.
第二天
4.设f(x)?(x?a)(x?b)(a、b是给定的正实数),n?2为给定的正整数。对满足
x1?x2?
?xn?1的非负实数x1,x2,,xn，求F?1?i?j?n?min{f(xi),f(xj)}的最大值。
5.设n为无平方因子的正偶数，k为整数，p为质数，满足
p?2n,p|n,p|(n?k2).
证明：n可以表示为ab?bc?ca，其中，a,b,c为互不相同的正整数。
6.求满足下面条件的最小正整数k：对集合S?{1,2,,2012}的任意一个k元子集A，都
存在S中的三个互不相同的元素a、b、c，使得a?b、b?c、c?a均在集合A中。
参考答案
第一天
1. 如图2，联结EP、BE、BP、CD。
分别记?BAC、?ABC、?ACB为?A、?B、?C，X、Y分别为CA延长线、DA延长线上的任意一点。 由已知条件易得AD?DC,AE?EB。结合A、B、D、
E、C五点共圆得
1?C?BAE?90??AEB?90?，
221?B?CAD?90??ADC?90?。
22由AC、AD分别切O1、O2于点A得?APB??BAX?180??A,?ABP??CAP， 及?APE??EAY?180??DAE?180?(?BAE??CAD??A)
?C?B?A)?(90?)??A?90? 222?A??APE 故?BPE?360??APB??APE?90?2在APE与BPE中，分别运用正弦定理并结合AE?BE，得 sin?PAEPEPEsin?PBE?BPEsi?PAEn?si?PBE???，故n，又因为?APE、
sin?APEAEBEsin?BPE均为钝角，所以，?PAE、?PBE均为锐角，于是，?PAE??PBE， 故?BAP??BAE??PAE??ABE??PBE??ABP??CAP。 ?180?(90?
2. 由加减法的交换律和结合律可以将针对同一行或同一列的操作合并进行，并且无需考虑各操作间的次序。
假设所有操作的最终结果是对第i行每个数减去xi，对第j列每个数减去yj，其中
xi,yj(1?i、j?p)可以是任意整数。
由题设知aij?xi?yj对所有的i、j(1?i、j?p)成立。 由于表中各数互不相同，则x1,x2,,xp互不相同，y1,y2,,yp互不相同。不妨设
x1?x2??xp，这是因为交换xi与xj的值相当于交换第i行和第j行，既不改变题设也
?yp。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，
不改变结论。同样，不妨设y1?y2?每一列从上到下也是递增的。
由上面的讨论知a11?1,a12?2或a21?2，不妨设a12?2。否则，将整个数表关于主对
角线作对称，不改变题设也不改变结论。
下面用反证法证明：1,2,假设1,2,,p全在第一行中。
,k(2?k?p)在第一行中，k?1不在第一行中。于，a21?k?1。将连续
的k个整数称为一个“块”，只需证明：表格的第一行恰由若干个块构成，即前k个数为一个块，之后的k个数又是一个块，等等。
如若不然，设前n组k个数均为块，但之后的k个数不成为块（或之后不足k个数），由此知对j?1,2,,n,y(j?1)k?1,y(j?1)k?2,,yjk构成块。从而，表格的前nk列共可分成pn个
,p;j?1,2,,n)，每个子表格中的k1?k的子表格ai,(j?1)k?1,ai,(j?1)k?2,个数构成块。
,ai,jk(i?1,2,现假设a2,nk?1?a1,nk?1?x2?x1?a21?a11?k，故a2,nk?1?a?k。从而a?b必定在前
nk列中。这样a?b含在某个前面所说的1?k的块中，但a、a?k都不在该块中，矛盾。
于是，第一行恰由若干个块构成。
特别地，有k|p。但1?k?p，而p是质数，这导致矛盾。 于是，数表的第一行恰为1,2,,p，而第k行必定为(k?1)p?1,(k?1)p?2,,kp.
因此，好矩阵A在交换行，交换列，以及关于主对角线作对称下总可转化为唯一的形式。 所以，好矩阵的个数等于2(p!)2.
3. 递推地构造正整数序列{an}如下：取整数a1?M2，以及a2?a1?1。对k?2，取整
数a2k?1?M2k??ai,a2k?k??ai。下面证明这一序列满足条件。
i?1i?12k?22k?1由定义知am?am?1?a?m2?对m?1均成立，且对任意正整数k有?a1a2k?a2k?1?M2k。
于是，这一序列是严格递增的正整数序列且满足条件（1）。
2n?1对任意正整数n有n???a?aii?12n?12n及?n??a?aii?12n。
最后只需说明：0不能表示成b1a1?ba2?2?bmam的形式，其中，
b1,b2,,bm?{?1,1}。
当m?1时，b1a1?0。
当m?1时，|b1a1?b2a2??bmam|?am?(am?1?am?2??a1)?0。
这样便验证了所构造的序列满足所有条件。
第二天
4. 解法1 由
min{f(xi),f(xj)}?min{(xi?a)(xi?b),(xj?a)(xj?b)}?(xi?a)(xi?b)(xj?a)(xj?b)11?[(xi?a)(xj?b)?(xi?b)(xj?a)]?xixj?(xi?xj)(a?b)?ab，则 22nna?b1na?b2222F??xixj?(xi?xj)?Cn?ab?[(?xi)??xi]?(n?1)?xi?Cn?ab?21?i?j?n2i?121?i?j?ni?1i?1n1n?111nn?1222?(1??xi)?(a?b)?Cn?ab?[1?(?xi)2]?(a?b)?Cn?ab 222ni?12i?111n?1n(n?1)n?11(1?)?(a?b)?ab?(?a?b?nab) 2n222n1n?11(?a?b?nab)。 当x1?x2??xn?时，上式等号成立，故F的最大值为
n2n解法2 对n归纳证明下述理一般的命题。 ?命题 对满足x1?x2??xn?s 的非负实数x1,x2,， ,xn（s是任意固定的非负实数）
F?的最大值在x1?x2?1?i?j?n?min{f(xi),f(xj)}
?xn?s时取到。 n事实上，由F的对称性，不妨设x1?x2?递增的。则
?xn。注意到，f(x)在非负实数集上是单调
F?(n?1)f(x1)?(n?2)f(x2)?s2假设结论在n时成立，考虑n?1的情形。
对x2?x3?当n?2时，F?f(x1)?f()，等号在x1?x2时成立。
?f(xn?1)
?xn?1?s?x1用归纳假设有
s?x11F?nf(x1)?n(n?1)f()?g(x1)
2nn?1其中g(x)为关于x的二次函数，其二次项系数为1?，一次项系数为
2n2
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