考点5 奇偶性
【题组一 奇偶性判断】
1.下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A.y?x?1 【答案】D
【解析】A.函数的定义域为R,关于原点对称,f(?x)?x?1?f(x),所以函数是偶函数;
22B.y?1 xC.y?2?2
x?xD.y?ex
B.函数的定义域为{x|x?0},关于原点对称. f(?x)??1??f(x),所以函数是奇函数; xC.函数的定义域为R,关于原点对称,f(?x)?2?x?2x?f(x),所以函数是偶函数;
?f(x),f(?x)?e?x??f(x),所以函数既不是奇函
D. 函数的定义域为R,关于原点对称,f(?x)?e数,也不是偶函数.故选:D
?x2.下列函数,既是偶函数,又在???,0?上单调递增的是( )
A.f?x????x?1?
2B.f?x??log21 xxC.f?x??3
D.f?x??cosx
【答案】B
【解析】对于选项A,f?x????x?1?,函数不是偶函数,所以该选项是错误的;
2对于选项B, f??x??log211?log2?f(x),所以函数f(x)是偶函数,y?|x|在???,0?上是减函数,?xxy?11fx?log??在???,0?上是增函数,在???,0?上是增函数,所以该选项是正确的;对于选项2x|x|
xC, f?x??3是偶函数,在???,0?上是减函数,所以该选项是错误的;对于选项D, f?x??cosx,是偶函
数,在???,0?上不是增函数,是非单调函数,所以该选项是错误的.故选:B
3.下列函数中既是奇函数又在区间???,???上单调递增的是( )
ex?e?xA.y?
2C.y?x?2x?2?xB.y?x
2?2?xD.y?3?x1 x?3x
【答案】B
ex?e?xe?x?ex【解析】对于A,y?,定义域为R,则f??x???f?x?,所以为偶函数,所以A错误;
222??2x2x?2?x对于B, ,定义域为R,则f??x????x?x??f?x?,所以为奇函数;将解析式变形可得?xx2?22?2?22x?2?x?2?2?x?2?2xy?1?y?4,因为为单调递增函数,所以在Ry?x?x?1?x?x?1?2x?1?xx4?12?22?22?14?1上为单调递增函数,所以B正确; 对于C,y?x?11,定义域为x?0,因而y?x?在区间???,???上不具有单调性,所以C错误; xxx?x?xx?3x,定义域为R,f??x??3?3??3?3??f?x?,所以为奇函数;因为
对于D,y?3x?x???1?y??????3x?,所以在区间???,???上单调递减,所以D错误.综上可知,B为正确选项.故选:B
?3?4.下列判断中哪些是不正确的( )
2??x?x?x?0?1?x是偶函数B.f?x???2是奇函数
?x?xx?0??1?x??A.f?x???x?1?
21?xC.f?x??3?x2?x2?3是偶函数D.f?x??是非奇非偶函数
x?3?3【答案】AD
【解析】A.f?x?的定义域为??1,1?,定义域不关于原点对称,?f?x?不是偶函数,?该判断错误; B.设x?0,?x?0,则f??x??x?x???x?x??f?x?,
22??同理设x?0,也有f(?x)??f(x)成立,
?f?x?是奇函数,?该判断正确;
C.解x2?3?0得,x??3,?f?x?的定义域关于原点对称,且f?x??0,
?f?x?是偶函数,?该判断正确;
2??1?x?01?x21?x2D.解?得,?1?x?0,或0?x?1,?f?x??, ?x?3?3?0?x?3?3x?f??x?=?f(x) ?f?x?是奇函数,?该判断错误.故选:AD.
【题组二 利用奇偶性求解析式】
1.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex?1,则当x<0时,f(x)= 。 【答案】?e?x?1 【解析】
f(x)是奇函数, x?0时,f(x)?ex?1.
?x当x?0时,?x?0,f(x)??f(?x)??e?1,得f(x)??e?x?1.
22.已知函数y?f(x)是定义在R上的奇函数,当x?(0,2)时,f(x)?lnx?x?1,则当x?(?2,0)时,
函数f(x)的表达式为__.
【答案】f(x)??ln(?x)?x?1
2【解析】
y?f?x?是定义在R上的奇函数 ?f?x???f??x?
2当x???2,0?时,?x??0,2??f??x??ln??x????x??1?ln??x??x2?1
?f?x???f??x???ln??x??x2?1本题正确结果:f?x???ln??x??x2?1
3.已知f(x)是奇函数,当x?0时f(x)??x(1?x),当x?0时,f(x)等于 。
【答案】?x(1?x)
【解析】当x?0时,?x?0,则f??x??x?1?x?.
又f?x?是R上的奇函数,所以当x?0时f?x???f??x???x?1?x?.
4.已知奇函数f?x?,当x??0,1?时,f?x??x1?x,则当x???1,0?时,f?x??________.
【答案】x1?x
【解析】解:设x???1,0?,则?x??0,1?,又函数f?x?为奇函数, 则f?x???f(?x)??[(?x)1?(?x)]?x1?x,故答案为:x1?x.
25.已知偶函数y?f?x?在区间?0,???上的解析式为f?x??2x?x,则y?f?x?在区间???,0?上的解
析式f?x??______.
2【答案】f?x???2x?x
22【解析】设x?0,则?x?0,则f??x???2x?x,所以f?x???2x?x.
22所以y?f?x?在区间???,0?上的解析式为f?x???2x?x.故答案为:f?x???2x?x
【题组三 求参数】
1.函数f(x)?2|x|?ax为偶函数,则实数a的值为________. 【答案】0
【解析】0.
f(x)?2|x|?ax为偶函数,?f(?x)?f(x),即2|?x|?ax?2|x|?ax,则a?0,故答案为:
?ax(x?1),x?02.若函数f(x)??为奇函数,则满足f?t?1??f?2t?的实数t的取值范围是______.
?x(a?x),x?0【答案】t??1
【解析】由函数f?x?是奇函数,可得f?1??f??1??0,即2a??a?1??0,解得a?1,
??x?x?1?,x?0故f?x???,其图象如下图所示:
x1?x,x?0????
由图可知f?x?单调递增,?f?t?1??f?2t?可化为t?1?2t解得t??1.故答案为:t??1. 3.已知函数f?x?在定义域?2?a,3?上是偶函数,在?0,3?上单调递减,并且
a??f??m2???f??m2?2m?2?,则m的取值范围是______.
5??