【人教B版】选修2-2：3.1.2《复数的几何意义》课时作业及答案

【成才之路】高中数学 第3章 3.1第2课时 复数的几何意义课时

作业 新人教B版选修2-2

一、选择题

1．若复数(m－3m－4)＋(m－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为( ) 2

2

A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6

[答案] C

[解析] 由题意解得m2

－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.故选C. 2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

[答案] C

[解析] z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.

3．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是( ) A．－4

5

B．x<2 C．x>－4

5

D．x<－4

5

或x>2

[答案] A

[解析] 由(x－1)2＋(2x－1)2

<10，解得－45

4．下列命题中假命题是( ) A．复数的模是非负实数

B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2| [答案] D

[解析] ①任意复数z＝a＋bi (a、b∈R)的模|z|＝a2

＋b2

≥0总成立．∴A正确；②由复数相等的条件z＝0??

??a＝0??b＝0

.?|z|＝0，故B正确；

③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i (a1、b1、a2、b2∈R) 若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|

1

反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，

如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；

④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．故选D.

5．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )

A．关于x轴对称 C．关于原点对称 [答案] B

[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．

6．在下列结论中正确的是( )

A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 B．任何两个复数都不能比较大小

C．如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的 D．－1的平方根是i [答案] A

[解析] 两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，ai是实数，排除C，－1的平方根是±i，排除D，故选A.

7．复数z＝(a－2a)＋(a－a－2)i对应的点在虚轴上，则( ) A．a≠2或a≠1 C．a＝2或a＝0 [答案] D

[解析] 由题意知a－2a＝0且a－a－2≠0， 解得a＝0.

8．复数z1＝a＋2i (a∈R)，z2＝2＋i且|z1|<|z2|，则a的取值范围是( ) A．(1，＋∞) C．(－1,1) [答案] C

[解析] ∵|z1|<|z2|，∴a＋4<5， ∴a＋4<5， ∴－1＜a＜1.故选C. 二、填空题

9．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝______.

2

2

22

2

2

2

B．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称

B．a≠2或a≠－1 D．a＝0

B．(－∞，－1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

[答案] ±15－8i

[解析] 设复数z＝a－8i，由a＋8＝17， ∴a＝225.a＝±15.则z＝±15－8i.

10．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________. [答案] 3i

[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3， ∴a＋b＝9.

又w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，

??a＝0，∴?

?b＋3≠0，?

2

2

2

2

2

2

2

??a＝0，

?

?b≠－3，?

又a＋b＝9，∴a＝0，b＝3.

11．(2015·徐州期末)已知i为虚数单位，若复数z＝a＋2i(a≥0)的模等于3，则a的值为________．

[答案] 5

[解析] 因为复数z＝a＋2i(a≥0)的模等于3，所以a＋4＝9，解得a＝5. 三、解答题

12．复数z＝(a＋1)＋ai(a∈R)对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹方程是什么？

[解析] 因为a＋1≥1>0，复数z＝(a＋1)＋ai对应的点为(a＋1，a)，所以z对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z＝x＋yi(x，y∈R)，则

??x＝a＋1，

?

?y＝a，?

2

2

2

2

2

消去a可得x＝y＋1，所以复数z对应的点的轨迹方程是y＝x－1.

22

一、选择题

1．复数z＝m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )

A．第一象限 C．第三象限 [答案] B

[解析] 复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应点P(3m－2，m－1)，当m>1时，

B．第二象限 D．第四象限

P在第一象限；当m<时，P在第三象限，当

上，当m＝1时，P在x轴上，故选B.

2

32323

3

→→→

2．复平面内，向量OA表示的复数为1＋i，将OA向右平移一个单位后得到向量O′A′，→

则向量O′A′与点A′对应的复数分别为( )

A．1＋i,1＋i C．1＋i,2＋i [答案] C

→

[解析] 向量OA向右平移一个单位后起点O′(1,0)， →→→→→

∵OA′＝OO′＋O′A′＝OO′＋OA＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)， →→

∴点A′对应复数2＋i，又O′A′＝OA， →

∴O′A′对应复数为1＋i.故选C.

3．设z＝(2t＋5t－3)＋(t＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( ) A．z对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 [答案] C

[解析] ∵2t＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t＋2t＋2＝(t＋1)＋1≥1，∴排除A、B、D.故选C.

4．若cos2θ＋i(1－tanθ)是纯虚数，则θ的值为( ) π

A．kπ－(k∈Z)

4π

C．2kπ＋(k∈Z)

4[答案] A

??cos2θ＝0 ①

[解析] ∵?

??1－tanθ≠0 ②

2

2

2

2

2

B．2＋i,2＋i D．2＋i,1＋i

π

B．kπ＋(k∈Z)

4D．

kππ

2

＋(k∈Z) 4

∴选项B、C不满足②.

D中若k为偶数(如k＝0)也不满足②.故选A. 二、填空题

5．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cotB－tanA)＋i(tanB－cotA)的对应点位于复平面的第______象限.

[答案] 二

πππ

[解析] 由于0

222

4

ππ

∴>A>－B>0， 22∴tanA>cotB，cotA

6．设z＝log2(m－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是____________．

[答案]

15

22

[解析] ∵log2(m－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，整理得log2∴2m－6m－6＝m－6m＋9，即m＝15，m＝±15. 又 ∵m－3>0且m－3m－3>0，∴m＝15.

2

2

2

2

2

m2－3m－3

＝0，

m－32

7．复数z满足|z＋3－3i|＝3，则|z|的最大值和最小值分别为________． [答案] 33，3

[解析] |z＋3－3i|＝3表示以C(－3，3)为圆心，3为半径的圆，则|z|表示该圆上的点到原点的距离，显然|z|的最大值为|OC|＋3＝23＋3＝33，最小值为|OC|－3＝23－3＝3. 三、解答题

8．(2015·泰安高二检测)已知复数z＝m(m－1)＋(m＋2m－3)i(m∈R)． (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值；

(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围． [解析] (1)∵z为实数，∴m＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1. (2)∵z为纯虚数，∴?

?m?

2

2

2

m－1＝0，

??m＋2m－3≠0.

解得m＝0.

(3)∵z所对应的点在第四象限，

??mm－1>0，

∴?2

?m＋2m－3<0.?

解得－3

9．若复数z满足|z＋2|＋|z－2|＝8，求|z＋2|的最大值和最小值．

[解析] 由题意知，|z＋2|＋|z－2|＝8表示椭圆，由椭圆的几何性质知，椭圆长轴上的两个顶点到焦点(－2,0)的距离分别是最大值和最小值，因此当z＝4，即复数z对应的点是椭圆右顶点时，|z＋2|有最大值6，当z＝－4，即复数z对应的点是椭圆左顶点时，|z＋2|有最小值2.

5