第一章： 考试范围1.3,1.4
1、计算指数分布的矩母函数.
2、计算标准正态分布X~N(0,1)的矩母函数. 3、计算标准正态分布X~N(0,1)的特征函数. 第二章：
1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数 2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理
3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件
1、设随机过程Z(t)?X?Yt，???t??.若已知二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为
??12??，求Z(t)的协方差函数. ?2????2?2、设有随机过程{X(t),t?T}和常数a，Y(t)?X(t?a)?X(t)，t?T，计算Y(t)的自相关函数（用RX(s,t)表示）.
23、设X(t)?Z1cos?t?Z2sin?t，其中Z1,Z2~N(0,?)是独立同分布的随机变量，?为
实数，证明X(t)是宽平稳过程.
4、设有随机过程Z(t)?Xsint?Ycost，其中X和Y是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明Z(t)是宽平稳过程. 第三章：
1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算 2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算 3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义
1、设{N(t),t?0}是参数??3的Poisson过程，计算：
(1). P{N(1)?3}； (2). P{N(1)?1,N(3)?3}； (3). P{N(1)?2N(1)?1}. 2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程. (1)．试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；
(2). 在已知t时刻有50人到达的条件下，试求其中恰有30位女性的概率，平均有多少个女性顾客？
3、某商店顾客的到来服从强度为4人/小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求： (1). 在开门半小时中，无顾客到来的概率；
(2). 若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。 4、设有一泊松过程{N(t),t?0}，若有两个时刻s,t，且s?t，试证明
k?s? P{N(s)?kN(t)?n}?Cn???t?k?s??1???t?n?k， k?0,1,L,n.
5、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达速率为?.若已知在第一个小时内有两个顾客抵达银行，试计算：
(1)．此两个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率； (2)．至少有一个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率. 第四章：
1. 更新过程、更新方程及其解得存在唯一性 2. Wald等式
3. 更新定理及其在概率计算中的应用
n121、设P{Xi?1}?,P{Xi?2}?，令Tn??Xi,n?1.对于更新过程
33i?1N(t)?sup{n:Tn?t}，计算N(1)和N(2)的概率分布.
2、某控制器用一节电池供电，设电池寿命Xi(i?1,2,?)服从（30,60）（单位：h）内的均匀分布，电池失效时需要去仓库领取，领取新电池的时间Yi(i?1,2,?)服从期望为0.5小时的均匀分布.计算长时间工作时控制器更换电池的速率.
3、设有一个单服务员银行，顾客到达可看作速率为20（人/小时）的Poisson分布，服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量，服从均值为2（分钟/人）的指数分布.顾客到达门口只有在服务员空闲时才准进来.试求： (1).顾客进银行的速率；
(2).服务员工作的时间所占营业时间的比例.
第五章：
1. Markov链的定义，转移概率矩阵，C-K方程
2. 状态的周期，常返态、非常返态的定义及判别（定理5.2.3，推论5.3.3，5.3.4） 3. 极限定理及平稳分布
1、设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关.又设今天下雨明天也下雨 的概率为0.7，而今天无雨明天有雨的概率为0.4，计算星期一有雨，星期四天仍有雨的概 率.
2、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移概率矩阵为：
0??1/21/2??1/31/95/9?? ?1/62/31/6???试对经过长时间后的销售状况进行分析。
3、一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。
4、设有一马尔可夫链，其转移状态有两种：E1、E2，经计算得一阶转移概率矩阵为
?0.79P(1)???0.59?0.21??，求证该链具有遍历性，并求出极限分布。 ?0.41?5、设I?{1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵为
?1/21/20?00?1?01/32/3??1/201/20??0? 0??0?试对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期. 6、设齐次Markov链的转移概率矩阵为
?q? ?q?0?p0q0??p?，p?q?1，0?p?1， p??证明：此Markov链有遍历性，并求其平稳分布. 第六章
1. 鞅及停时的定义 2. 鞅的证明
1、设X1,X2,?是一族零均值的独立随机变量序列，且E(Xi)??，Sn?n?Xi?1i，证明：
?Sn?是关于{Fn}的鞅.
2、证明Brown运动是鞅. 第七章
1. Brown运动的定义及相关概率计算 2. Gauss过程及相关概率计算 3. Brown的最大值变量及反正弦律
1、 设{B(t),t?0}是标准Brown运动，计算P{B(1)?0,B(2)?0}. 2、 设{B(t),t?0}是标准Brown运动，计算B(1)?2B(2)?3B(3)的分布. 3、 设{B(t),t?0}是标准Brown运动，计算P{?B(t)dt?0123}.
第八章
考试范围：P157性质8.2.1第二条，伊藤公式
随机过程知识点总结
