第52讲 几何概型
课时达标
一、选择题
1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( ) 4A. 52C. 5
3B. 51D. 5
B 解析 区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故满足3
条件的概率P＝.
5
2．设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x＋px＋1＝0有实数根的概率为( ) 1A. 53C. 5
2
2
2B. 54D. 5
C 解析 方程有实根，则Δ＝p－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率为5－23
＝. 5－05
3．在区间[0,2π]上任取一个数x，则使得2sin x>1的概率为( ) 1A. 61C. 3
1B. 42D. 3
5ππ－661π5π??C 解析 因为2sin x>1，x∈[0,2π]，所以x∈?，?，所以P＝＝.故选
6?2π3?6C.
4．中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm，小米同学为了测算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是( )
A.C.
486π2
mm 5243π2
mm 5
B.D.
243π2
mm 10243π2
mm 20
S150243π22
B 解析 设装饰狗的面积为S mm.由题意得＝，所以S＝ mm.故选
18?250010?π×???2?
B.
5．(2019·阳泉一中期中)已知直线y＝3－x与两坐标轴所围成的区域为Ω1，不等式组
y≤3－x，??
?x≥0，??y≥2x
所围成的区域为Ω2，现在区域Ω1中随机放置一点，则该点落在区域Ω2
内的概率是( )
1
A. 41C. 2
1B. 32D. 3
1
B 解析 在平面直角坐标系中，做出区域Ω1，如图中△OAB所示，其面积为×3×3＝
2
??y＝3－x，9
.作出区域Ω2，如图中△OBC所示，联立?2?y＝2x，?
得C(1,2)，所以区域Ω2的面积为
3
2131
×3×1＝，故所求概率P＝＝. 2293
2
6．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为( )
1A. 41C. 2
1
C 解析 由题图可知VF－AMCD＝×S313a41
－AMCD内的概率为＝.
132a2
二、填空题
7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则使四棱锥M－ABCD1
的体积小于的概率为________．
6
11111
解析 当VM－ABCD＝时，即×1×1×h＝，解得h＝，则点M到底面ABCD的距离小于，
6362211×1×
21
所以所求概率P＝＝. 1×1×12
1答案 2
8．(2019·福州三中月考)已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm的概率为________．
解析 依题意，设长方体的长为x cm，则相应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)＞128，得x－12x＋32＜0，解得4＜x＜8，因此所求的概率为
1答案 3
9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB＞90°的概率为________．
解析 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中任取一点M，满足∠AMB＞90°的区域的体
2
3
梯形AMCD3B. 85D. 8
1313
×DF＝a，VADF－BCE＝a，所以它飞入几何体F42
8－41
＝. 123
π3114ππ3
积是半径为1的球的，体积为××π×1＝，所以所求概率为＝.
4433 8 24
π
答案
24三、解答题
10．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球、3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？
解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR(R为圆盘的πR22
64×15πRπR1
半径)，阴影区域的面积为＝.所以在甲商场中奖的概率为P1＝＝.如23606 πR 6果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3 )，(a2，
22
a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3 )，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种，摸到的2个球都是红球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共3个，所以在乙商
31
场中奖的概率为P2＝＝，又P1 155 11．设事件A表示“关于x的一元二次方程x＋ax＋b＝0有实根”，其中a，b为实常数． (1)若a为区间[0,5]上的整数值随机数，b为区间[0,2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率； (2)若a为区间[0,5]上的均匀随机数，b为区间[0,2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率． 解析 (1)当a∈{0,1,2,3,4,5}，b∈{0,1,2}时，共可以产生6×3＝18个一元二次方程．若事件A发生，则a－4b≥0，即|a|≥2|b|.又a≥0，b≥0，所以a≥2b.从而数对(a， 2 2 2 2 b)的取值为(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(5,0)， 122 (5,1)，(5,2)，共12组值，所以P(A)＝＝. 183 (2)据题意，试验的全部结果所构成的区域为D＝{(a，b)|0≤a≤5,0≤b≤2}，构成事件A的区域B＝{(a，b)|0≤a≤5,0≤b≤2，a≥2b}．在平面直角坐标系中画出区域B，D，如图． 1＋5 其中区域D为矩形，其面积S(D)＝5×2＝10，区域B为直角梯形，其面积S(B)＝×2 2＝6.所以P(A)＝SB63 ＝＝. SD105 12．已知袋子中放有大小和形状相同但颜色互异的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为21 的小球的概率是. 2 (1)求n的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b. ①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率； ②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x＋y>(a－b)恒成立”的概率． 解析 (1)由题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是 1 ＝，解得n＝2. n＋22 2 2 2 n(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，则取出2个小球的可能情况共有12种结果，令满足“2≤a＋b≤3”为事82 件A，则事件A共有8种结果，故P(A)＝＝. 123 ②由①可知(a－b)≤4，故x＋y>4，(x，y)可以看成平面中点的坐标，则全部结果构124－π·24 成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，由几何概型可得概率为P＝ 4π＝1－. 4 13．[选做题](2019·绍兴中学月考)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形 2 2 2 ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内 的最大概率为________． 解析 设AD＝x，AB＝y，则由三角形相似可得＝ 2 xa－y，解得y＝a－x，所以矩形的面积 aa2 ?x＋a－x?2＝a，当且仅当x＝a－x，即x＝a时，S取得最大值a，所以该S＝xy＝x(a－x)≤??24?2?4 a2 41点取自矩形内的最大概率为＝. 12×a×a2 1答案 2
2020版高考数学大一轮复习 第九章 概率 第52讲 几何概型课时达标 文（含解析）新人教A版
