考前辅导(二) 空间与图形
一、图形的初步认识 1、角：（1）同角（等角）的余角（补角）相等；
（2）角的度、分、秒之间互化。 （3）角平分线性质（两个）、判定。（可用于构造三角形全等）
2、线：直线、射线、线段（线段的中点、线段的垂直平分线） 3、相交线（垂直）、平行线（性质与判定） 二、视图与投影
1、三视图：主视图、左视图、俯视图。 2、中心投影、平行投影、盲区。 三、图形的变换 1、平移
2、旋转、中心对称 3、轴对称、翻折
4、图形的位似变换（位似中心、位似比） 四、证明与尺规作图（五个基本作图） 1、命题的定义包括两层涵义： ①命题必须是一个完整的句子；
②这个句子必须对某件事情做出判断．例如：“直角都相等” ，“相等的角是对顶角”等都是命题．“连结P、Q两点” 、“过点p作直线l”等都不是命题． ③任一个命题都可以写成形式： “如果……，那么……．” ④会把一个命题改写它的逆命题 2、证明文字命题的一般步骤：
(1) 根据题意，画出图形；
(2) 根据题设、结论、结合图形，写出已知求证；
(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程． 3、几句话：①所有的命题都有逆命题；定理不一定有逆定理。
②真命题的逆命题不一定是真命题；假命题的逆命题不一定是假命题。
五、三角形
（一）三角形的有关概念及全等三角形
1、三角形的主要线段：角平分线；中线；高（三条线都是线段） 2、三角形的稳定性：
3、三角形的三边关系定理；三角形的内角和定理及推论
4、三角形全等的判定公理：SAS AAS ASA SSS 5、直角三角形全等的判定：HL
（二）等腰三角形的判定定理及推论：
1、定理：等角对等边.这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
2、等腰三角形的判定定理：等角对等边．
3、证明一个三角形是等边三角形的方法：
（1）、利用定义证明：证明三条边相等．（2）、证明三角形三个角相等． （3）、证明它是等腰三角形并且已有一个角是．
（三）直角三角形
1、直角三角形的性质： （1）、直角三角形两锐角互余． （2）、直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． （3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （4）、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方． 注意：此定理揭示了直角三角形三边关系（列方程的等量关系），蕴含了数形
结合思想。
（5）、射影定理： 即
：
2、锐角三角函数的概念： （1）如图，在中，，锐角①的正弦，记作，即：②③
的余弦，记作的正切，记作
，即：，即：
A
； ； ；
说明：当固定时，的正弦值，余弦值，正切值都是固
三角函数 定的，这与的两边长短无关．
（2）特殊角度、、的三角函数值：
（3）各锐角三角函数之间的关系式
①互余关系：
，
②平方关系：．
，
1 (4)当角度在之间变化时，
①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)； ②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)； ③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；
4、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
5、解直角三角形的应用
（1）概念：①仰角、俯角：
②坡度、坡角：．坡角越大，坡度也越大，坡面越陡
③方向角：
（2）基本图形：
六、四边形：四边形的内角和等于．四边形的外角和等于 1、（1）平行四边形的性质：（2）平行四边形的判定：（3）平行线间的距离处处相等 2、有一个角是直角的平行四边形是矩形． (1)性质：①具有平行四边形的一切性质．
②矩形的四个角都是直角． ③矩形的对角线相等．
(2)判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
3、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
(1)性质：①具有平行四边形的一切性质． ②菱形的四条边都相等．
③菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
(2)判定：①定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
②定理1：四边都相等的四边形是菱形．
③定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
(3)菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半
4、有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
(1)从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
它们的包含关系如图： (2)矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，
(3) 性质：
①正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ②正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．
③正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分， 每条对角线平分一组对角．
④正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正
方形分成四个小的全等的等腰直角三角形
5、梯形：一组对边平行且不相等的四边形是梯形（一组对边平行另一组对边不平行的四边形） （1）、解决梯形问题的基本思路：梯形问题转化为三角形或平行四边形问题． （2）、等腰梯形性质：
①等腰梯形两腰相等、两底平行．②等腰梯形在同一底上的两个角相等．
．．．③等腰梯形的对角线相等．④等腰梯形是轴对称图形
（3）等腰梯形判定：
①两腰相等的梯形是等腰梯形．
②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． ③对角线相等的梯形是等腰梯形
6、三角形的中位和梯形中位线
(1)定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． (2)定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
(3)结论:①顺次连接对角线相等的四边形的各边中点得到的是菱形.
②顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到的是矩形.
七、相似形
1、(1)基本性质： ；
．（c叫a、b的比例中项）
(2)合比性质： ． （3）等比性质：
如果
，那么
．
注意：
①此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法
②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
2、黄金分割把线段分成两条线段，且使是的比例中项，叫做
把线段
黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618。
（一条线段有两个黄金分割点）
3、比例尺
4、三角形相似的判定方法：
（1）两角对应相等，两三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． （3）三边对应成比例，两三角形相似 5、相似三角形性质：
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
八、圆：
（一）圆的有关概念及性质： 1、圆、直径、半圆、等弧、等圆、同心圆、圆心角、圆周角等概念。
．．
C 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
2、垂径定理及其推论：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
。O
推论1： (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
3、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提．
．．．．．．．4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
注意：若结合“圆心角的度数等于它所对的弧的度数”可得“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半” 。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
注意“等弦所对的圆周角不一定相等” ．因为一条弦对着两类圆周角，这两类圆．．．．．．．．．．．．．周角之间是互补关系．如图，都是弦
，，而．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；径．
所对的圆周角，但的圆周角所对的弦是直
（二）和圆有关的位置关系
1、点和圆的位置关系：设圆的半径为，点到圆心的距离为，则有： (1)点在圆内； (2)点在圆上； (3)点在圆外 2、直线与圆位置关系：
（1）直线与圆的位置关系的性质和判定：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，
①直线与⊙O相交 ②直线与⊙O相切 ③直线与⊙O相离 （2）切线的判定定理：
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 圆切线的判定方法：①定义②数量关系③定理
（3）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 （4）切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 3、圆和圆的位置关系
（1）两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系：
设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，()那么 ①两圆外离 ②两圆外切； ③两圆相交 ④两圆内切 ⑤两圆内含 注意：相切有两种外切和内切 （2）两圆相交的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． （3）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上
4、定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆（怎样过三点作圆）
A（1）圆外接三角形（外心：三边垂直平分线的交点）
A （2）三角形内切圆（内心：三条角平分线的交点）cbOBaDECFODECB
考前辅导(二)__空间与图形
