邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。1.1.1 集合的含义与表示
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于( ) A．4 C．2
解析：由题设可知3≠4， ∴m＋1＝4， ∴m＝3. 答案：B
2．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A．梯形 C．菱形
B．平行四边形 D．矩形 B．3 D．1
解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边． 答案：A
3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为( ) A．{0,1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5}
B．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－3<2，∴x<5，又∵x∈N＋，∴x＝1,2,3,4. 答案：B
4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) A．5 C．3
B．4 D．2
解析：利用集合中元素的互异性确定集合．
当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，
z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.
答案：C
3325．由实数x，－x，|x|，x，－x所组成的集合中，最多含有的元素个数为( ) A．2个 C．4个
B．3个 D．5个
解析：确定集合中元素的个数，应从集合中元素的互异性入手考虑．若是相同的元素，则在
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。332
集合中只能出现一次．因为x＝|x|，－x＝－x，所以当x＝0时，这几个数均为0.当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x.当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，－x.均最多表示两个不同的数，故所组成的集合中的元素最多有2个．故选A. 答案：A
6．设a，b∈R，集合{0，，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________. 解析：由题设知a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，所以＝－1，∴a＝－1，b＝1， 故b－a＝2. 答案：2
7．已知－5∈{x|x－ax－5＝0}，则集合{x|x－4x－a＝0}中所有元素之和为________． 解析：由－5∈{x|x－ax－5＝0}得(－5)－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4， 所以{x|x－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2. 答案：2
8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________．
解析：∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}， Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11. ∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中有8个元素． 答案：8
9．集合A＝{x|kx－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
解析：(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}．
(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx－8x＋16＝0有一个实根． 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}； 当k＝1时，A＝{4}．
10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1， (1)若－3∈A，试求实数a的值； (2)若a∈A，试求实数a的值． 解析：(1)因为－3∈A， 所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
2
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baba邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1. 此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数
a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，
所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.
[B组 能力提升]
1．有以下说法： ①0与{0}是同一个集合；
②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}； ③方程(x－1)(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ④集合{x|4＜x＜5}是有限集． 其中正确说法是( ) A．①④ C．②③
2
2
B．②
D．以上说法都不对
解析：0∈{0}；方程(x－1)(x－2)＝0的解集为{1,2}；集合{x|4＜x＜5}是无限集；只有②正确． 答案：B
a|b|
2．已知集合P＝{x|x＝＋，a，b为非零常数}，则下列不正确的是( )
|a|bA．－1∈P C．0∈P
解析：(1)a>0，b>0时，x＝
B．－2∈P D．2∈P
ab＋＝1＋1＝2； |a||b|
(2)a<0，b<0时，x＝＋＝－1－1＝－2；
|a||b|(3)a，b异号时，x＝0. 答案：A
3．已知集合M＝{a|a∈N，且
6
∈N}，则M＝________. 5－aab解析：5－a整除6，故5－a＝1,2,3,6，a∈N所以a＝4,3,2. 答案：{4,3,2}
4．当x∈A时，若x－1?A且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________．
解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1“相伴”，1,2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}．故填{5}． 答案：{5}
5．已知集合A＝{x|ax＋2x＋1＝0，a∈R}． (1)若1∈A，求a的值；
(2)若集合A中只有一个元素，求实数a组成的集合； (3)若集合A中含有两个元素，求实数a组成的集合． 解析：(1)因为1∈A，所以a×1＋2×1＋1＝0， 所以a＝－3.
(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0， 1
解得x＝－，符合题意；
2
当a≠0时，方程ax＋2x＋1＝0有两个相等实根， 即Δ＝2－4a＝0，所以a＝1.
故当集合A只有一个元素时，实数a组成的集合是{0,1}．
(3)由集合A中含有两个元素知，方程ax＋2x＋1＝0有两个不相等的实根， 即a≠0且Δ＝2－4a>0， 所以a≠0且a<1.
故当集合A中含有两个元素时，实数a组成的集合是{a|a≠0且a<1}． 6．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合： 1
①1?S；②若a∈S，则∈S.
1－a请解答下列问题：
(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数； 1
(2)求证：若a∈S，且a≠0，则1－∈S.
2
2
2
2
2
2
a解析：(1)∵2∈S,2≠1，∴
11＝－1∈S.∵－1∈S，－1≠1，∴1－21－－1
＝∈S. 2
1111又∵∈S，≠1，∴＝2∈S.∴集合S中另外两个数为－1和.
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1－2
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。(2)由a∈S，则
1111－a1
∈S，可得∈S，即＝＝1－∈S.∴若a∈S，且1－a111－a－1a1－1－1－a1－aa≠0，则1－∈S.
a1
2017_2018学年高中数学第一章集合与函数概念1-1集合1-1-1集合的含义与表示优化练习新人教A版必修1
