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1.4 生活中的优化问题举例
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油132
温度(单位：℃)为f(x)＝x－x＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是
3( )
A．8 C．－1
B.20 3
D．－8
2
2
解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x－2x＝(x－1)－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
答案：C
2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( ) A．10 C．25
B．15 D．50
解析：如图，CDEF为半圆O的内接矩形，C、D为圆上的动点， 连接OC，设∠COF＝α，则
CF＝5sin α，OF＝5cos α，
∴S矩形CDEF＝2×5cos α·5sin α π
＝25sin 2α(0<α<)．
2∴S矩形CDEF的最大值为25. 答案：C
3．某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为( )
A．2,6 C．3,5
B．4,4 D．1,7
3
解析：设第一次购买了x件礼物，则第二次购买了8－x件，则付款额f(x)＝x＋(8－
x)3，
f′(x)＝3x2－3(8－x)2＝3(16x－64)，
令f′(x)＝0，得x＝4， K12精品文档学习用
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∴当x＝4时，付款额最省． 答案：B
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，(0≤x≤390)，则当
900总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 C．250
解析：由题意可得总利润P(x)＝－
B．200 D．300
＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝－900300
x3
x3x2
＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300 答案：D 5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为( ) A．0.032 C．0.04 B．0.024 D．0.036 2 3 解析：设存款利率为x，依题意：存款量是kx，银行应支付的利息是kx，贷款的收益是0.048kx，x∈(0，0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx－kx(0 答案：A 6．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________． 解析：由题意设每小时的燃料费y与航速v间满足y＝av(0≤v≤30)， 13 又∵25＝a·10，∴a＝. 40 设从甲地到乙地海轮的航速为v，总费用为f(v)， 800800320 00032 则f(v)＝av×＋×400＝20v＋， 3 2 2 2 3 vvv320 000由f′(v)＝40v－＝0，得v＝20<30. 2 vK12精品文档学习用 k12精品 答案：20海里/时 7．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________． 512512 解析：设长，宽分别为a，b，则ab＝512，且l＝a＋2b，∴l＝2b＋，∴l′＝2－2， bb令l′＝0得b＝256，∴b＝16，a＝32.即当长、宽分别为32 m、16 m时最省材料． 答案：32 m,16 m 8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，y1和 2 y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km 处． 解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数． k1 xk14 于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝. 105 因此，两项费用之和为y＝ 204x204 ＋(x>0)，y′＝－2＋，令y′＝0，得x＝5，或x＝x5x5 －5(舍去)．当0 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 答案：5 9.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解析：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积， S＝2πRh＋2πR2 由V＝πRh，得h＝2，则 πR2 VS(R)＝2πRV2V22 ＋2πR， 2＋2πR＝πRRR2V令S′(R)＝－2＋4πR＝0， 3 解得，R＝ V2π ， K12精品文档学习用 k12精品 从而h＝2＝ πRπ 34V3V＝＝2·. π2π即h＝2R. 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值． 所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省． 10．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ VV3 V2π 2 解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm. 则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x－276x＋4 320x(0 3 2 3 V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360) ＝12 (x－10)(x－36)(0 令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)． 当0 因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值， 其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20) ＝19 600(cm)． 故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm. [B组 能力提升] 1．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为( ) A.3d，C. 3 d 3 B.D. 36d，d 336 d，3d 3 23 3 63d，d 33 解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意，知当xy取最大值时，横梁的强度最大． K12精品文档学习用 k12精品 ∵y＝d－x，∴xy＝x(d－x)(0 求导数，得f′(x)＝d－3x.令f′(x)＝0， 解得x＝当0 33 d，或x＝－d(舍去)． 33 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 33 d时，f′(x)>0；当d 3 d时，f(x)取得极大值，也是最大值． 3 63 d，宽为d时，横梁的强度最大． 33 因此，当x＝ 综上，当矩形横断面的高为答案：C 2．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形的长和宽分别为( ) 23 A．2， 38 C.，2 3 843B.， 338D．4， 3 2 解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x，y)，其中0 2322 设矩形的面积为S，则S＝2x(4－x)(0 3 x＝－ 232323 (舍去)．当0 234382因此，当x＝时，S取得极大值，也就是最大值，此时，2x＝，4－x＝.所以 333843 矩形的长和宽分别为和时，矩形的面积最大． 33 答案：B 23 3．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x，又产品单价的平方与产品件 75数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________． 解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即ax＝k， K12精品文档学习用 2
k12精品2017 - 2018学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例优化练习新人教A版选修2 - 2
