高中数学解题思想方法全部内容

由天下分享时间：2024/11/5 19:29:23 加入收藏我要投稿点赞

y?39. 设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那

x?2么M∪N等于_____。 (90年全国)

A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1 10. 如果θ是第二象限的角，且满足cos

θθθ－sin＝1?sinθ,那么是222_____。

A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角

11. 已知集合E＝{θ|cosθ

3π3π5πππ3πA. (,π) B. (,) C. (π, ) D. (,)

4242445π12. 若复数z的辐角为，实部为－23，则z＝_____。

6A. －23－2ｉ B. －23＋2ｉ C. －23＋23ｉ D. －23－23ｉ

y2213. 如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年全国

x理)

331 B. C. D. 3

32214. 满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。

【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A; 2小题：由已知画出对数曲线，选B；

3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D； 4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B； 5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B； 6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B； 7小题：利用单位圆，选A；

8小题：将复数表示在复平面上，选B；

9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D； 10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－

33＋ｉ。

22【注】以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，

即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。

【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。

y 4 y=1-m 1 O 2 3 x ?3?x?0【解】原方程变形为 ? 2??x?3x?m?3?x?3?x?0即：? 2(x?2)?1?m?设曲线y1＝(x－2)2 , x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示。由图可知： ① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。

y A D 的值。 O B x 【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。 C 【解】如图，设z1＝OA、z2＝OB后，则z1＝OC、例2. 设|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求

z2＝OD如图所示。

2z1z2由图可知，|

z15|＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：

2z252?22?(13)24cos∠AOD＝＝

2×5×25∴

z15433＝(±ｉ)＝2±ｉ

2z2255z15【另解】设z1＝OA、z2＝OD如图所示。则||＝， y A 2z2且

D O x 2225?2?(13)43cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±， 2×5×25537

z1z154333所以＝(±ｉ)＝2±ｉ，即＝2±ｉ。

22z2z2255【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算

的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。

本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z1＝5(cosθ1＋ｉsinθ1)，z2＝＋ｉsinθ

2)，则|z1－z2|＝|(5cosθ

1－2cosθ2)＋(5sinθ1＋2sinθ2)ｉ|＝

4329?20cos(?1??2)＝13，所以cos(θ1＋θ2)＝,sin(θ1＋θ2)＝±，

55z15[cos(??1)?isin(??2)]5543＝＝[cos(θ1＋θ2)＋ｉsin(θ1＋θ2)]＝(±ｉ)

2(cos?2?isin?2)2255z23＝2±ｉ。

2本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z1－z2|＝13得：

（z1－z2）(z1－z2)＝z1z1＋z2z2－z1z2－z1z2＝25＋4－z1z2－z1z2＝13,

z1z1z13所以z1z2＋z1z2＝16,再同除以z2z2得＋＝4，设＝z，解得z＝2±ｉ。

2z2z2z2几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一般

地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。

例3. 直线L的方程为：x＝－

pp (p>0),椭圆中心D(2＋,0)，焦点在x轴上，长半22轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它

们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？

【分析】由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。

【解】由已知得：a＝2，b＝1, A(

p,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： 2?y2?2px?p2?p22，消y得：x－(4－7p)x＋(2p＋)＝0 ?[x?(2?)]422??y?1?4?122所以△＝16－64p＋48p>0,即6p－8p＋2>0，解得：p<或p>1。

3p2pp2结合范围(,4+)内两根，设f(x)＝x－(4－7p)x＋(2p＋)，

42238

1p4?7pppp<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>－4＋32。

2222221结合以上，所以－4＋32

3所以

【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。

例4. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m2＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x2＋y2≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)

【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n2＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。

【解】由A∩B≠φ得：na＋b＝3n2＋15 ;

设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，所以圆心到直线距离d＝

222222|3n2?15|n?122＝3(n?1＋

4n?12)≥12

∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。

【注】集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。

本题直接运用代数方法进行解答的思路是：

由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ,即b＝3n＋15－an （①式）；由(a,b)∈C得，a＋b≤144 （②式）；把①式代入②式，得关于a的不等式：

(1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0 （③式）,

它的判别式△＝4n(3n＋15)－4(1＋n)[(3n＋15)－144]＝－36(n－3) 因为n是整数，所以n－3≠0,因而△<0，又因为1＋n>0,故③式不可能有实数解。所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立 Ⅲ、巩固性题组：

1. 已知5x＋12y＝60，则x2?y2的最小值是_____。 A. 60 B. 13 C. 13 D. 1

1351222222222222222222222. 已知集合P＝{(x,y)|y＝9?x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。