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例3. 设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn＝证明{an}是等差数列。 （94年全国文）
n(a1?an)，2【分析】 要证明{an}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：an＝a1＋(n－1)d 。命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。
【解】 设a2－a1＝d，猜测an＝a1＋(n－1)d 当n＝1时，an＝a1， ∴ 当n＝1时猜测正确。
当n＝2时，a1＋(2－1)d＝a1＋d＝a2， ∴当n＝2时猜测正确。 假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：ak＝a1＋(k－1)d ， 当n＝k＋1时，ak?1＝Sk?1－Sk＝
(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)－，
22将ak＝a1＋(k－1)d代入上式， 得到2ak?1＝(k＋1)(a1＋ak?1)－2ka1－k(k－1)d， 整理得(k－1)ak?1＝(k－1)a1＋k(k－1)d，
因为k≥2,所以ak?1＝a1＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。
综上所述，对所有的自然数n，都有an＝a1＋(n－1)d，从而{an}是等差数列。
【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。在证明
n(a1?an)过程中ak?1的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式Sn＝、数列中通项与
2前n项和的关系ak?1＝Sk?1－Sk建立含ak?1的方程，代入假设成立的式子ak＝a1＋(k－1)d解出来ak?1。另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)ak?1＝(k－1)a1＋k(k－1)d得到ak?1＝a1＋kd的条件是k≥2。
【另解】 可证an?1 －an＝ an－ an?1对于任意n≥2都成立：当n≥2时，an＝Sn－Sn?1＝
n(a1?an)(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)－；同理有an?1＝Sn?1－Sn＝－222n(a1?an)(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)；从而an?1－an＝－n(a1＋an)＋，整理222一般地，在数列问题中含有an与Sn时，我们可以考虑运用an＝Sn－Sn?1的关系，并注
得an?1 －an＝ an－ an?1，从而{an}是等差数列。
意只对n≥2时关系成立，象已知数列的Sn求an一类型题应用此关系最多。 Ⅲ、巩固性题组：
1. 用数学归纳法证明：6
n2n?1＋1 (n∈N)能被7整除。
222. 用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。 3. n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。 4.
用数学归纳法证明等式：cosx·cosx2·cosx3·…·cosxn＝
2222sinx2n·sinx2n (81
年全国高考)
5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考）
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6. 数列{an}的通项公式an＝
1 (n∈N)，设f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，(n?1)2试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。
7. 已知数列{an}满足a1＝1，an＝an?1cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。
①．求a2和a3； ②.猜测an，并用数学归纳法证明你的猜测。
2a(x?1) , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在8. 设f(logax)＝
x(a2?1)两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)
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六、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设2x＝3y＝5z>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
??x??2?2t2. （理）直线?上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。
??y?3?2t （文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为
____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。 5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)
22x2y26. 椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。
164 A. 3 B. 11 C. 10 D. 22
【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；
2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝1?xyz11，所以e＝－kk2k2?k；
3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射
线；
4小题：设三条侧棱x、y、z，则
111xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。 2225小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；
|4sin??4cos??2|6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选C。
5Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。
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【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝b＝
1＋t1，311＋t2，c＝＋t3，代入a2＋b2＋c2可求。 33111【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t1，b＝＋t2，c＝＋t3，其中t1＋t2＋t3＝0，
33311112∴ a2＋b2＋c2＝（＋t1）2＋（＋t2）2＋(＋t3)2＝＋(t1＋t2＋t3)＋
3333311t12＋t22＋t32＝＋t12＋t22＋t32≥
331所以a2＋b2＋c2的最小值是。
3【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥
22222222221。 3两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。
x2y21例2. 椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若kOP·kOQ＝－ ，
1644 ①．求证：|OP|2＋|OQ|2等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
?x?4cosθ【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设?（椭圆参数方程），参数θ1、
y?2sinθ?θ
2为
P、Q两点，先计算kOP·kOQ得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用“参数法”
22求中点M的坐标，消参而得。
?x?4cosθx2y2【解】由＋＝1，设?，P(4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ2,2sinθ2),
164inθ?y?2s则kOP·kOQ＝cosθ
2sin?12sin?21?＝－，整理得到：
4cos?14cos?241 cosθ2＋sinθ1 sinθ2＝0,即cos（θ1－θ2）＝0。 2222222∴ |OP|＋|OQ|＝16cosθ1＋4sinθ1＋16cosθ2＋4sinθ2＝8＋12(cosθ12＋cosθ2)＝20＋6（cos2θ1＋cos2θ2)＝20＋12cos（θ1＋θ2）cos（θ1－θ2）＝20，
22即|OP|＋|OQ|等于定值20。
?xM?2(cos?1?cos?2)由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为?，
y?sin??sin?12?Mx22所以有()＋y＝2＋2(cosθ1 cosθ2＋sinθ1 sinθ2)＝2,
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x2y2即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。
82【注】由椭圆方程，联想到a2＋b2＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，
转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ
1＋ cosθ2）
2＋（sinθ1＋sinθ2）2，这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：
设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－
?x2?4y2?16?02，消y得(1＋4k)x＝16,即|xP|＝； ?2y?kx1?4k??x2?4y2?16?0|8k|1?2，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝； ?1Q224k1?4k?y??4kx?4|8k|12?所以|OP|2＋|OQ|2＝(1?k?)2＋（1?）2 216k1?4k21?4k220?80k222＝＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。 21?4k在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝1?kAB21，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有： 4k42?|xA－xB|求|OP|和
|OQ|的长。
例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为 S 2β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。
2【分析】要证明cosα=-cosβ，考虑求出α、β的 E 余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。 【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、
D C
OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。
O F OFa 设BC＝a (为参数)， 则SF＝＝, A B
cosβ2cosβ22SC＝SF?FC＝(aa)2?()2
2cosβ2＝
a2cosβ1?cos2β
1a1?cos2?2cos?＝
SF·BCa2?又 ∵BE＝＝
2cosβSCa1?cos?2
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高中数学解题思想方法全部内容
