6
① 解不等式f(x)>0;
② 是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ?若不存在,说出理由;若存在,指出t的取值范围。
10. 设s>1,t>1,m∈R,x=logst+logts,y=logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s), y=f(x),并求出f(x)的定义域;
=0有且仅有一个实根,求m的取值范围。 二、换元法
6
① 将y表示为x的函数② 若关于x的方程f(x)
7
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4x+2x-2≥0,先变形为设2x=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=x+1?x的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sinα ,α∈[0,
2?],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中2222主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x+y=r(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=
SS+t,y=-t等等。 22我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范
围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,
?]。 24Ⅰ、再现性题组:
1.y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x+1)=loga(4-x) (a>1),则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{an}中,a1=-1,an?1·an=an?1-an,则数列通项an=___________。 4.设实数x、y满足x+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。
221?3?x5.方程x=3的解是_______________。
1?36.不等式log2(2-1) ·log2(2
xx?1-2)〈2的解集是_______________。
t21【简解】1小题:设sinx+cosx=t∈[-2,2],则y=+t-,对称轴t=-1,
221当t=2,ymax=+2;
22小题:设x+1=t (t≥1),则f(t)=loga[-(t-1)+4],所以值域为(-∞,loga4];
227
8
3小题:已知变形为
1an?11=-n,所以an=-;
n-
11=-1,设bn=,则b1=-1,bn=-1+(n-1)(-1)anan4小题:设x+y=k,则x2-2kx+1=0, △=4k2-4≥0,所以k≥1或k≤-1; 5小题:设3x=y,则3y2+2y-1=0,解得y=
1,所以x=-1; 35,log23)。 41Smax+
6小题:设log2(2x-1)=y,则y(y+1)<2,解得-2 例1. 实数x、y满足4x2-5xy+4y2=5 ( ①式) ,设S=x2+y2,求的值。(93年全国高中数学联赛题) 1Smin【分析】 由S=x2+y2联想到cos2α+sin2α=1,于是进行三角换元,设 ??x?Scosα代入①式求Smax和Smin的值。 ???y?Ssinα??x?Scosα【解】设?代入①式得: 4S-5S·sinαcosα=5 ??y?Ssinα10解得 S= ; 8?5sin2α101010∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8-5sin2α≤13 ∴ ≤≤ 138?5sin?311313168∴ +=+== SmaxSmin10101058S?10此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2α=的有界性而求,即解不等 S8S?10式:||≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。 SSSSS2222【另解】 由S=x+y,设x=+t,y=-t,t∈[-,], 22222S2S-t2代入①式得:4S±5-t2=5, 则xy=±44移项平方整理得 100t+39S-160S+100=0 。 221010∴ 39S-160S+100≤0 解得:≤S≤ 13328 9 ∴ 1Smax+ 1Smin= 313168+== 1010105【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S=x2+y2与三角公式cos2α+sin2α=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S=x2+y2而按照均值换元的思路,设x2=S+t、y2=S-t,减少了元的个数,问题且容易求解。另外,还用到了求值域的几种 22方法:有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x、y时,可以设x=a+b,y=a-b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a2+13b2=5 ,求得a2∈[0,=2(a2+b2)= 例2. △ABC的三个内角A、B、C满足:A+C=2B, 5],所以S=(a-b)2+(a+b)2311102021010+a∈[,],再求+的值。 SS1313133maxmin211+=-,求 cosBcosAcosCA?Ccos的值。(96年全国理) 2【分析】 由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得 ?A?C?120°?A=60°?α;由“A+C=120°”进行均值换元,则设? ,再代入可求?B=60°C=60°-α??A?Ccosα即cos。 2?A?C?120°【解】由△ABC中已知A+C=2B,可得 ?, ?B=60°?A=60°?α由A+C=120°,设?,代入已知等式得: ?C=60°-α11111+=+=+ cos(60???)cos(60???)cosAcosC13cos??sin?221cos?cos?===-22, 13313cos2??sin2?cos2??cos??sin?4442222A?C解得:cosα=, 即:cos=。 2229 10 【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以=-22,设 211+=- cosBcosAcosC11=-2+m,=-2-m , cosAcosC11所以cosA=,cosC=,两式分别相加、相减得: ?2?m?2?m22A?CA?CA?CcosA+cosC=2coscos=cos=2, m?2222A?CA?CA?C2mcosA-cosC=-2sinsin=-3sin=2, 222m?2222mA?C2A?C2A?C即:sin=-,=-2,代入sin+cos=1整理m?22223(m2?2)得:3m4-16m-12=0,解出m2=6,代入cos 222A?C=2=。 2m?2211【注】 本题两种解法由“A+C=120°”、“+=-22”分别进行均值 cosAcosC换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以=-22cosAcosC,和积互化得: 211+=-=-22,即cosA+cosC cosBcosAcosC2A?CA?CA?Ccos=-2[cos(A+C)+cos(A-C),即cos=-2cos(A-C) 22222A?C2A?C2A?C=-2(2cos-1),整理得:42cos+2cos-32=0, 22222A?C解得:cos= 222cos 例3. 设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a的最大值和最小值。 【解】 设sinx+cosx=t,则t∈[-2,2],由(sinx+ 2t?1cosx)=1+2sinx·cosx得:sinx·cosx= 2112∴ f(x)=g(t)=-(t-2a)+ (a>0),t∈[-2,2] 2212t=-2时,取最小值:-2a-22a- 212当2a≥2时,t=2,取最大值:-2a+22a- ; 222 y , , -2 2 x 10
高中数学解题思想方法全部内容
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)