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① 解不等式f(x)>0；
② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。
10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝logst＋logts，y＝logs4t＋logt4s＋m(logs2t＋logt2s), y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；
＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。 二、换元法
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① 将y表示为x的函数② 若关于x的方程f(x)
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解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1?x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,
2?]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中2222主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝
SS＋t，y＝－t等等。 22我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范
围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,
?]。 24Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x＋1)＝loga(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{an}中，a1＝－1，an?1·an＝an?1－an，则数列通项an＝___________。 4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
221?3?x5.方程x＝3的解是_______________。
1?36.不等式log2(2－1) ·log2(2
xx?1－2)〈2的解集是_______________。
t21【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，
221当t＝2，ymax＝＋2；
22小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝loga[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,loga4]；
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3小题：已知变形为
1an?11＝－n，所以an＝－；
n－
11＝－1,设bn＝，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)anan4小题：设x＋y＝k，则x2－2kx＋1＝0, △＝4k2－4≥0,所以k≥1或k≤－1； 5小题：设3x＝y，则3y2＋2y－1＝0,解得y＝
1，所以x＝－1； 35,log23)。 41Smax＋
6小题：设log2(2x－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2 例1. 实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5 （ ①式） ，设S＝x2＋y2，求的值。（93年全国高中数学联赛题） 1Smin【分析】 由S＝x2＋y2联想到cos2α＋sin2α＝1,于是进行三角换元，设 ??x?Scosα代入①式求Smax和Smin的值。 ???y?Ssinα??x?Scosα【解】设?代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5 ??y?Ssinα10解得 S＝ ； 8?5sin2α101010∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤ 138?5sin?311313168∴ ＋＝＋＝＝ SmaxSmin10101058S?10此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等 S8S?10式：||≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。 SSSSS2222【另解】 由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]， 22222S2S－t2代入①式得：4S±5－t2=5， 则xy＝±44移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。 221010∴ 39S－160S＋100≤0 解得：≤S≤ 13328 9 ∴ 1Smax＋ 1Smin＝ 313168＋＝＝ 1010105【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x2＋y2与三角公式cos2α＋sin2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x2＋y2而按照均值换元的思路，设x2＝S＋t、y2＝S－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种 22方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a2＋13b2＝5 ，求得a2∈[0,＝2(a2＋b2)＝ 例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B， 5]，所以S＝(a－b)2＋(a＋b)2311102021010＋a∈[,]，再求＋的值。 SS1313133maxmin211＋＝－，求 cosBcosAcosCA?Ccos的值。（96年全国理） 2【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ?A?C?120°?A＝60°?α；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设? ，再代入可求?B＝60°C＝60°－α??A?Ccosα即cos。 2?A?C?120°【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ?, ?B＝60°?A＝60°?α由A＋C＝120°，设?，代入已知等式得： ?C＝60°－α11111＋＝＋＝＋ cos(60???)cos(60???)cosAcosC13cos??sin?221cos?cos?＝＝＝－22, 13313cos2??sin2?cos2??cos??sin?4442222A?C解得：cosα＝， 即：cos＝。 2229 10 【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＝－22，设 211＋＝－ cosBcosAcosC11＝－2＋m，＝－2－m ， cosAcosC11所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得： ?2?m?2?m22A?CA?CA?CcosA＋cosC＝2coscos＝cos＝2， m?2222A?CA?CA?C2mcosA－cosC＝－2sinsin＝－3sin＝2， 222m?2222mA?C2A?C2A?C即：sin＝－，＝－2，代入sin＋cos＝1整理m?22223(m2?2)得：3m4－16m－12＝0,解出m2＝6，代入cos 222A?C＝2＝。 2m?2211【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－22”分别进行均值 cosAcosC换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＝－22cosAcosC，和积互化得： 211＋＝－＝－22，即cosA＋cosC cosBcosAcosC2A?CA?CA?Ccos＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－2cos(A-C) 22222A?C2A?C2A?C＝－2(2cos－1)，整理得：42cos＋2cos－32＝0, 22222A?C解得：cos＝ 222cos 例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。 【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋ 2t?1cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝ 2112∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-2,2] 2212t＝-2时，取最小值：－2a－22a－ 212当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a＋22a－ ； 222 y , , －2 2 x 10
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