2017-2018学年苏教版高中
数学选修2-1学案
目 录
3.1.1 空间向量及其线性运算-3.1.2 共面向量定理 3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理
3.1.3 空间向量基本定理-3.1.4 空间向量的坐标表示 3.1.3 空间向量基本定理-3.1.4 空间向量的坐标表示1 3.1.5 空间向量的数量积 3.1.5 空间向量的数量积1
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量-3.2.2 空间线面关系的判定(一)
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)平行关系 3.2.2 空间线面关系的判定(二)
3.2.2 空间线面关系的判定(二)垂直关系 3.2.3 空间的角的计算 3.2.3 空间的角的计算1 3疑难规律方法 3章末复习提升 3章末复习课
2017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案
3.1.1 空间向量及其线性运算
[学习目标] 1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的线性运算及运算律,理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义.
知识点一 空间向量的概念
在空间中,我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量,向量的大小叫向量的长度或模. 知识点二 空间向量的加减法
(1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的,它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.(如图) →→→
OB=OA+AB=a+b; →→→
CA=OA-OC=a-b. (2)运算律
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 知识点三 空间向量的数乘运算 (1)定义
实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量,称为向量的数乘运算.当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反;当λ=0时,λa=0.λa的长度是a的长度的|λ|倍.如图所示. (2)运算律
分配律:λ(a+b)=λa+λb; 结合律:λ(μa)=(λμ)a. 知识点四 共线向量定理
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2017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案
(1)共线向量的定义
与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,记作a∥b. (2)充要条件
对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa. 思考 (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同.对吗? (2)零向量没有方向.对吗?
(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致.对吗? 答案 (1)正确.起点相同,终点也相同的两个向量相等. (2)错误.不是没有方向,而是方向任意. (3)正确.
题型一 空间向量的概念 例1 判断下列命题的真假. (1)空间中任意两个单位向量必相等; (2)方向相反的两个向量是相反向量; (3)若|a|=|b|,则a=b或a=-b; →→
(4)向量AB与BA的长度相等.
解 (1)假命题.因为两个单位向量,只有模相等,但方向不一定相同. (2)假命题.因为方向相反的两个向量模不一定相等.
(3)假命题.因为两个向量模相等时,方向不一定相同或相反,也可以是任意的. →→
(4)真命题.因为BA与AB仅是方向相反,但长度是相等的.
反思与感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 跟踪训练1 如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中,
→
(1)试写出与AB相等的所有向量; →
(2)试写出AA1的相反向量;
→
(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量AC1的模.
→→→→
解 (1)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1,DC及D1C1共3个. →→→→→
(2)向量AA1的相反向量为A1A,B1B,C1C,D1D.
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