第25-26课时
教学题目：平面向量的坐标表示及其运算习题课 教学目标：
1、掌握平面向量的坐标表示；
2、会进行向量线性运算的坐标表示； 3、掌握向量共线的充要条件. 教学内容：
1、平面向量的坐标表示； 2、向量线性运算的坐标表示； 3、向量共线的充要条件. 教学重点：
1、向量线性运算的坐标表示； 2、向量共线的充要条件. 教学难点：
1、向量线性运算的坐标表示； 2、向量共线的充要条件. 教学方法：讲授法、练习法. 教学过程：
一、知识点梳理： （一）、平面向量的坐标表示：
??在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，????对任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数?x,y?，使得a?xi?yj，则??实数对?x,y?叫做向量a的直角坐标(简称坐标)，记作a??x,y?，其中x和y分别称为向??量a的x轴上的坐标与y轴上的坐标，而a??x,y?称为向量的坐标表示.
注：
1、相等的向量其坐标相同.同样，坐标相同的向量是相等的向量.
???2、显然：i??1,0?, j??0,1?, 0??0,0?.
（二）、向量线性运算的坐标表示、共线向量的坐标表示——平面向量的坐标运算：
1、两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：
????a?b??x1?x2,y1?y2? (其中a??x1,y1?、b??x2,y2?).
2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：
????如果A?x1,y1?、B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1?.
(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：
??若a??x,y?，则?a???x1,?y1?.
3、向量平行（向量共线）的坐标表示：
????????已知向量a、b(b?0)，则a∥b的充要条件为存在实数λ，使a??b.
??????如果a??x1,y1?,b??x2,y2? (b?0)则a∥b的充要条件为：x1y2?x2y1?0.
注：
1、平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，引入向量的坐标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化为学生熟悉的数量的运算.
2、两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减.
3、向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量.（两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的）
4、向量AB的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐标.
??5、实数λ与向量a的积的运算时，λ应与a的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的.
?设??R，a??x,y?
???a???x,y????x,y?或?a???x,y???x,?y?
二、典型例题讲解
?????2例1 、若向量a??x?3,x?3x?4?与AB相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x? .
????解：∵A?1,2?,B?3,2?则有AB??2,0?. ?????又∵a?AB=AB，∴它们的坐标一定相同，
∴x?3?2①, x?3x?4?0②，由①、②得：x??1.
2?????16?例2 、已知a??3x?4y,?2x?y?，b??2x?3y?1,?3x?y?3?，若2a?3b，
9??试求x与y的值.
??分析：这里可以根据条件2a?3b建立关于x，y的方程组，通过解方程组即可求得x与y的值.
?????16?解：∵a??3x?4y,?2x?y?，b??2x?3y?1,?3x?y?3?且2a?3b
9??∴ 2?3x?4y,?2x?y??3?2x?3y?1,?3x???16?y?3? 9?∴ ?6x?8y,?4x?2y???6x?9y?3,?9x???16?y?9? 3?16y?9②，由①、②得： 3∴6x?8y?6x?9y?3①，?4x?2y??9x?x???????说明：这里的题设条件2a?3b，其实它反应了向量a，b同向，并且2a?3b，即｜
3a｜=｜b｜,所以a，b的坐标应成比例，即a的横、纵坐标分别与b的横纵坐标之比相
23等且都等于.
2例3、已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四个顶点的坐标.
353，y?. 1717
????????????????解：如图，设OA??3,?2?， OB??5,2?，OC???1,4?，OD??x,y?， ????????????????????????依题意，AB?DC或AC?DB或AB?CD. ????????????????????????（1）由AB?DC，可得：OB?OA?OC?OD
即?5,2???3,?2????1,4???x,y???2,4????1?x,4?y? ∴?1?x?2，4?y?4，∴x??3,y?0. ∴D??3,0?.
????????（2）由AC?DB可得：??1,4???3,?2????4,6???5?x,2?y?，
∴5?x??4，2?y?6∴x?9,y??4，∴D?9,?4?.
????????（3）由AB?CD可得：?5,2???3,?2???2,4???x?1,y?4?，
∴x?1?2，y?4?4， ∴x?1,y?8，∴D?1,8?.
∴点D的坐标为??3,0?或?9,?4?或?1,8?.
?????例4、已知a?10，b??3,?4?，且a∥b，求a.
?解：设a??x,y?，
则根据题意有：x2?y2?102?100①，?4x?3y?0② 由①、②得：x?6,y??8或x??6,y?8
??∴a??6,?8?或a???6,8?.
??????例5、已知a??3,?2?，b???2,1?， c??7,?4?，用a，b表示c. ???解：设c?ma?nb，即?7,?4??m?3,?2??n??2,1?
∴ ??m?1?3m?2n?7 解得：?
??2m?n??4?n??2???∴c?a?2b.
例6、如果A?1,?2?,B?4,m?,C??2,m?1?在一直线上，试求m的值（规范指导）. 师生分析：三点共线与两向量平行间的关系是解决本题的关键.
????????解：由已知可知AB??3,m?2?,AC???3,m?1? ?????????三点共线 ∴AB??AC
即：?3,m?2?????3,m?1????3?,?(m?1)?
于是有：??3??3?
?m?2??(m?1)33，所以有：m??. 22 解得：???1，m??三、学生练习 （一）、选择题
1、已知向量a?(1,0),b?(0,1),c?ka?b(k?R),d?a?b，如果c//d那么（ ） A．k?1且c与d同向 B．k?1且c与d反向
C．k??1且c与d同向 D．k??1且c与d反向
??????2、已知向量a??1，1?，b??2，x?若a?b与4b?2a平行，则实数x的值是（ ） A．-2
B．0
C．1
D．2
????3、若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= ( ) ????????A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
??????4、已知a??1，2?，b???3，2?，当ka?b与a?3b平行，k为何值（ ）
1111 B.－ C.－ D. 4433??1??5、已知向量a=(1?sin?,1)，b=(,1?sin?)，若a//b，则锐角?等于（ ）
2A．30? B． 45? C．60? D．75?
A.
（二）、填空题：
????1、设向量AB?(2,3)，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为 ． ????2、若a?(2,1)，b?(?3,4)则3a?4b的坐标为_________．
????3、设平面向量a??3,5?,b???2,1?，则a?2b?_________．
??????4、已知向量a?(3,1)，b?(1,3)，c?(k,7)，若(a?c)∥b，则k= ．
????????5、若平面向量a,b满足a?b?1，a?b平行于x轴，b??2，?1?，则a= ．
????6、已知向量a?(1，3cos?)，则a?b的最大值为 ，sin?)，b?(1（三）、解答题
??1、已知a?(1，0)，b?(2，1)，
??①求a?3b；
????②当k为何实数时，ka?b与a?3b平行，平行时它们是同向还是反向？
．
2、已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且CM?3CA,CN?2CB,求点M、N的坐标及向量MN的坐标．
????????3、已知点A(?1,?1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平行 与直线CD吗？
????????解：∵AB?(1?(?1),3?(?1))?(2,4)，CD?(2?1,7?5)=(1,2)，
????????又2?2?1?4?0， ∴AB//CD； ????????又AC?(1?(?1),5?(?1))?(2,6)，AB?(2,4)，2?4?2?6?0，
????????∴AC与AB不平行，
∴A、B、C不共线，AB与CD不重合， 所以，直线AB与CD平行．
四、课堂小结
1、平面向量的坐标表示； 2、向量线性运算的坐标表示； 3、向量共线的充要条件. 五、作业布置 （一）、填空题
????1、已知a?(x?2,3),b?(1,y?2)，若a?b，则x? ，y? ． 2、若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB?2BC= ． ????3、已知两个向量a??1，2?，b??x，1?，若a∥b，则x= ．
4、在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________． （二）、解答题
?????1????1、若M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP?MN, 求P点的坐标．
2??2、若向量a???1，x?与b???x，2?共线且方向相同，求x．
??????kk3、已知a?(1,2),b?(?3,2),当实数取何值时,a＋2b与2a—4b平行？
平面向量的坐标表示及其运算习题课
