《高等数学》试题 30
考试日期：2004 年 7 月 14 日 星期三
考试时间：120 分钟
一.选择题
1. 当 x ? 0 时， y ? ln(1 ? x) 与下列那个函数不是等价的 （
）
A) 、 y ? x B) 、 y ? sin x C) 、 y ? 1 ? cos x
D) 、 y ? ex ? 1
2. 函数 f(x)在点 x0 极限存在是函数在该点连续的（
A) 、必要条件
）
B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件
）.
2
2
3. 下列各组函数中， f (x) 和 g(x) 不是同一函数的原函数的有（
A)、 f (x) ?
1
2
B) 、 f (x) ? ln
?e x ? e?x ?, g?x? ? 1 ?e x ? e?x ?2
?x? ? ?ln x ? a2 ? x2 , g ?
? ??a ? x ? x??
22C) 、 f (x) ? arcsin
?2x ? 1?, g?x? ? 3 ? 2 arcsin
?x? ? tan x
2
）
1 ? x
D) 、 f (x) ? csc x ? sec x, g
4. 下列各式正确的是（
xxxdx ? 2 ln 2 ? C ? dx dx ? arctan x C） 、
?1? x2
B） 、
A） 、 D） 、 (?
tdt ? ?cos t ? C ?sin 1 1
)dx ? ? ? C
x ?
x2
5. 下列等式不正确的是（
d A）、 ?
C）
）.
?f ?x?dx? ? f ?x?
?? a dx ??
d ?x 、 ?f ?x?dx? f ?x????
??? a dx ??
x
b
d B）、 ?
D）
f ?x?dt? ??f ?b?x??b??x??
??? a dx ??
d ?x 、 ?F ??t ?dt? ? F ??x??
?b?x ?
dx ?? a ???
6. lim ?x?0 0
ln(1? t)dt x
? （ ）
C）、2
）
D）、4
A）、0 B）、1
7. 设 f (x) ? sin bx ，则? xf ?(x)dx ? （ x
b C）、bx cos bx ? sin bx ? C
A）、 cos bx ? sin bx ? C x
b D）、bx sin bx ? b cos bx ? C
B）、 cos bx ? cos bx ? C
8.
?
1
0
ex f (ex )dx ? ?f (t)dt ，则（ ）
a
b
C）、 a ? 1, b ? 10
D）、 a ? 1, b ? e
A）、 a ? 0, b ? 1
B）、 a ? 0, b ? e
) C）、1
9.
??( x sin x)dx ? (
?
23A）、0
B）、 2
D）、22
10.
2 x ln(x ??x ? 1)dx ? ( ??
?1
12
)
D）、22
A）、0
B）、 2
C）、1
1 1 x 11. 若 f ( ) ? ，则?f (x)dx 为（ ）
0 x x ? 1
A）、0 B）、1 C）、1 ? ln 2 D）、ln 2
f (t)dt(a ? x ? b) ， 则 F (x) 是 f (x) 的 12. 设 f (x) 在区间 ?a, b?上连续， F (x) ? ??
a x
（ ）. A）、不定积分
B）、一个原函数
C）、全体原函数 D）、在?a, b?上的定积分 ）
13. 设 y ? x ? sin x ，则 ? （
2
）A
x
1 ? x ? e =( 14. lim 2x?0 ln(1 ? x )
1 dx
dy
）B
cos y 、
1??2
1
1
cos x 、1??2 )
）C 、
2
2 ? cos y
D）、 2
2
? cos x
1A ?
2
B 2 C 1 D -1
15. 函数 y ? x ??x 在区间[0,4] 上的最小值为（ ）
A 4; C 1;
B 0 ; D 3
二.填空题
1. lim ( x ? 2 x)
2 x????x ? 1
?
.
2. ?2 ?2 4 ? x2 dx ?
3. 1
1
若? f (x)e x dx ? e x ? C ，则 ? f (x)dx ?
4. d x2 1 ? t 2 dt ?
dx ?6
5. 曲线 y ? x3 在
处有拐点
三.判断题
1. y ? ln 1 ? x 1 ? x
是奇函数. （
）
2. 设 f (x) 在开区间?a, b? 上连续，则 f (x) 在?a, b? 上存在最大值、最小值.( 3. 若函数 f (x) 在
x0 处极限存在，则 f (x) 在 x0 处连续.
（
）
4. ?
0 sin xdx ? 2 .
（ ）
5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )
四.解答题
1. 求lim tan 2
2x .
x?0
1 ? cos x
2. 求lim sin mx ，其中 m, n 为自然数. x? sin nx
3. 证明方程 x3 ? 4x 2 ? 1 ? 0 在(0,1)内至少有一个实根. 4. 求?cos(2 ? 3x)dx . 5. 求 ??1 x ??3
x
2
dx .
?6. 设 f (x) ? ? ?? 1 x sin x2 , x ? 0
?，求 f ?(x)
?
? x ?1, x ? 0
7. 求定积分 ??
4
dx
dx
0
1??x)
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