流体力学第八章气体的一元流动

力学过程。可逆、绝热过程称为等熵过程。绝热过程方程－9)并积分,得

p???C（常数）,代入式(8.１

u2??C????? ?(8.１-11）

??1?2?p式中?为绝热指数。

8.2

8.2.1

声速和马赫数

图8-2 微小扰动波的传播 声速

微小扰动波在介质中的传播速度称为声速。如弹拨琴弦,使弦振动了空气,其压强和密度都发生了微弱的变化，并以波的形式在介质中传播。由于人耳能接收到的振动频率有限，声速并不限于人耳能接收的声音传播速度。凡在介质中的扰动传播速度都称为声速。

如图8-2所示,截面面积为A的活塞在充满静止空气的等径长管内运动，u?0时（t?0），管内压强为p，空气密度为?,温度为T;若以微小速度du向右推进时间dt，压缩空气后,压强、密度和温度分别变成了p?dp，??d?和T?dT。活塞从右移动了

dudt,活塞微小扰动产生的声速传播了cdt,c就为声速。

取上面的控制体，列连续性方程得

?cdtA?(??d?)(c?du)dtA???

化简并略去高阶无穷小项,得

?du?cd? ??? ??

又由动量定理，得

?(8.2-1)

（8.2－2)

pA?(p?dp)A??cA[(c?du)?c]??

同样化简并略去高阶无穷小项，得

（8．2-３)

dp??cdu

联立式（8.2-２)和式（8．2－4)，得

??? ?（8.２-4)

c?上式就为声速方程式的微分形式。

密度对压强的变化率

dp? ? d? ? （8.2-５)

d?d?dp反映了流体的压缩性,越大，则越小,声速c也越小;dpdpd?反则声速c越大。由此可知,声速c反映了流体的可压缩性，即声速c越小,流体越容易压缩;声速c越大，流体也越不易压缩。

?由于微小扰动波的传播速度很快,其引起的温度变化也很微弱,在研究微小扰动时,可认为其压缩或膨胀过程是绝热且可逆的，这就是热力学中的等熵过程。则有绝热方程为

p?式中?为绝热指数。 可写为

??C（常数)??????

(8.2－6)

p?C??

上式两边对?求导，得

????? ??(8.2－７)

dppp?C????1??????1????? d???又由理想气体状态方程

(8．2-8)

p??RgT和上式(8.2-8)、式(8．2-５)联立,得

c??综合上述分析,有

（1） 由式(8.２－５)得，密度对压强的变化率

p???RgT?

??? (8.２-９)

d?d?反映了流体的压缩性，越大，dpdp则

dp越小，声速c也越小;反则声速c越大。由此可知，声速c反映了流体的可压缩性,d?即声速c越小，流体越容易压缩;声速c越大,流体也越不易压缩。

(2） 特别的,对于空气来说,??1.4,Rg?287.1J/(kg?K)，则空气中的声速为

c?20.05Tm/s

???(8.2-10)

（3）?从式(8.２-9)可看出,声速c不但和绝热指数?有关,也和气体的常数Rg和热力学温度

T有关。所以不同气体声速一般不同,相同气体在不同热力学温度下的声速也不同。 8.2.2

马赫（Mａ）数

为了研究的方便,引入气体流动的当地速度u与同地介质中声速c的比值,称为马赫数,以符号Ma表示

Ma?u????????(8.２-10) c马赫数是气体动力学中最采用的参数之一，它也反映了气体在流动时可压缩的程度。马赫数越大，表示气体可压缩的程度越大，为可压缩流体；马赫数越小,表示气体可压缩性小，当达到一定程度时，可近似看作不可压缩流体。

根据马赫数Ma的取值,可分为

(１)u?c，即Ma?1时，称为声速流动； (２)u?c,即Ma?1时，称为超声速流动； (３）u?c，即Ma?1时,称为亚声速流动。

图8-3 微小扰动传播规律图 下面讨论微小扰动波的传播规律,可分为四种情况:

(1) 如图８-3(a)所示,u?0,扰动源静止。扰动波将以声速向四周对称传播，波面为一同心球面，不限时间,扰动波布满整个空间。

(2) 如图８-3(b)所示,u?c,扰动源以亚声速向右移动。扰动波以声速向外传播，由于扰动源移动速度小于声速，只要时间足够,扰动波也能布满整个空间。

(3) 如图8-3(c)所示，u?c，扰动源以声速向右移动。由于扰动源移动速度等于声速,所以扰动波只能传播到扰动源的下游半平面。

(4) 如图８-3(d)所示,u?c,扰动源以超声速向右移动。由于扰动源移动速度大于声速，扰动波的球形波面被整个地带向扰动源的下游，所以扰动波只能传播到扰动源的下游区域,其区域为一个以扰动源为顶点的圆锥面内。称该圆锥为马赫锥。锥的半顶角?称为

马赫角，从图中可以看出

sin??

c1 ? ?uMa? ??（8.2－１１）

上面分析了扰动源分别在静止以及亚声速、声速和超声速从右移动时,微小扰动波的

传播规律。由此可知，0?Ma?1，即在振源静止或以亚声速移动的情况下,扰动波能传播到整个空间;而Ma?1，即在振源以声速或超声速移动时,扰动波只能传播到半空间或一圆锥面内。

8.3 一元气流的流动特性

在引入了声速和马赫数的概念后，对于可压缩气体的流动有一些自己的特性。这里我们介绍两个重要特性。

8.3.1气体流速与密度的关系

由第一节的式（８.１-７)和第两节的式(8．2-5），得

udu??将马赫数Ma?dp???dpd?d???c2 ????（8.3-１）

d???u代入上式,有 cd????Ma2du ?????? （8．３-2） u上式表明了密度相对变化量和速度相对变化量之间的关系。从该式可以看出,等式中有个负号，表示两者的相对变化量是相反的。即加速的气流，密度会减小,从而使压强降低、气体膨胀;反则,减速气流,密度增大,导致压强增大、气体压缩。马赫数Ma为两者相对变化量的系数。因此,当Ma?1时，即超声速流动,密度的相对变化量大于速度的相对变化量；当Ma?1时，即亚声速流动,密度的相对变化量小于速度的相对变化量。以下再分析流速与断面积的关系

８．3．2气体流速与流道断面积的关系

对一元气流得连续性方程?uA?C（常数)两边取对数，得

ln(?uA)?ln??lnu?lnA?lnC?C?