2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
221.已知集合A?(x,y)x?y?1，B??(x,y)y?x?，则A?B中元素的个数为
??A．3 B．2 C．1 D．0
2.设复数z满足(1?i)z?2i，则z?
1A．
2 B．2 2 C．2 D．2
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4.(x?y)(2x?y)5的展开式中x3y3的系数为
A．???
B．???
C．40
D．80
x2y2x2y25x，且与椭圆??1有公共5.已知双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线方程为y?2ab123焦点．则C的方程为
x2y2?1 A．?810
x2y2?1 B．?45
x2y2?1 C．?54
x2y2?1 D．?43π6.设函数f(x)?cos(x?)，则下列结论错误的是
3A．f(x)的一个周期为?2π C．f(x??)的一个零点为x? π 6
B．y?f(x)的图像关于直线x?π D．f(x)在(,π)单调递减
28π对称 37.执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的
最小值为
A．5 B．4 C．3 D．2
8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面
上，则该圆柱的体积为 A．π
C．
π ２
B． D．
3π 4π 49.等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则?an?前6项的和为
A．?24
B．?3
C．3
D．8
x2y210.已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线
abbx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为
A．6 3 B．3 3 C．2 ３
1D．
311.已知函数f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)有唯一零点，则a?
1A．?
２
1B．
3 C．
1 2 D．1
????????????12.在矩形ABCD中，AB?1，AD?2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP??AB??AD，
则???的最大值为 A．3
B．22
C．5
D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
?x?y?0?13.若x，y满足约束条件?x?y?2?0，则z?3x?4y的最小值为__________．
?y?0?14.设等比数列?an?满足a1?a2??1，a1?a3??3，则a4?________．
?x?1,x≤0,1f(x)?15.设函数则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是________． ?x2?2,x?0,16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与
a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60?角时，AB与b成30?角； ②当直线AB与a成60?角时，AB与b成60?角； ③直线AB与a所成角的最小值为45?； ④直线AB与a所成角的最大值为60?． 其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）
?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA?3cosA?0，a?27，b?2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD?AC，求△ABD的面积．
18.（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出
的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气
25?，需温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间?20，求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 15? ?10，2 20? ?15，16 25? ?20，36 30? ?25，25 35? ?30，7 40? ?35，4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19.（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是
直角三角形．?ABD?CBD，AB=BD．
DE（1）证明：平面ACD^平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分．求二面角D-AE-C的余弦值．
CBA20.（12分）已知抛物线C:y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径
的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
21.（12分）已知函数f(x)?x?1?alnx．
（1）若f(x)≥0，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，(1+
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
11)(1+2)鬃?(1221) （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l?:?(cos??sin?)????，M为l?与C的交点，求M的极径． 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x)?|x??|?|x??|． （1）求不等式f(x)??的解集； （2）若不等式f(x)?x??x?m的解集非空，求m的取值范围． 2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） 理科数学参考答案 1.【解析】A表示圆x2?y2?1上所有点的集合，B表示直线y?x上所有点的集合，直线y?x与圆 x2?y2?1相交于（1,1），（-1，-1），则A?B元素的个数为2，故选B. 2.【解析】由题，z?2i?1?i?2i2i?2???i?1，则z?12?12?2，故选C. 1?i?1?i??1?i?23.【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A. 4.【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x3y3的项为 23x?C5?2x???y??y?C5?2x???y??40x3y3，则x3y3的系数为40，故选C. 23325.【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y?b55x，则?① a22x2y2又∵椭圆??1与双曲线有公共焦点，易知c?3，则a2?b2?c2?9② 123x2y2 由①②解得a?2,b?5，则双曲线C的方程为??1，故选B. 45π?π?6.【解析】函数f?x??cos?x??的图象可由y?cosx向左平移个单位得到， 3?3?y?π?如图可知，f?x?在?,π?上先递减后递增，D选项错误，故选D. ???2??7.【解析】程序运行过程如下表所示： t S M ?O????-初始状态 0 100 1 ?6??10 第1次循环结束 100 2 第2次循环结束 90 1 3 此时S?90?91首次满足条件，程序需在t?3时跳出循环，即N?2为满足条件的最小值， 故选D. 8.【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径 3?1?， r?1????2?2?22 x3π，故选B. 49.【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d. 2则圆柱体体积V?πrh?R r 2?a2?a6，即?a1?2d???a1?d??a1?5d? 则a32又∵a1?1，代入上式可得d2?2d?0 又∵d?0，则d??2 ∴S6?6a1?6?56?5d?1?6????2???24，故选A. 2210.【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bx?ay?2ab?0相切，∴圆心到直线距离d等于半径， 2abd??a 又∵a?0,b?0，则上式可化简为a2?3b2 ∴ a2?b2c22c6∵b?a?c，可得a?3?a?c?，即2? ∴e??，故选A a3a311.【解析】由条件，f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)，得： 222222
2017年高考全国3卷理科数学试题及答案（精校word解析版）
