点到直线距离公式的6种推导方法
吴志坚
【期刊名称】《高中数理化》 【年(卷),期】2015(000)009 【总页数】2页(P19-20) 【作 者】吴志坚
【作者单位】福建省邵武市第一中学 【正文语种】中 文 【中图分类】教科文艺
【文献来源】https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_high-school-mathematics_thesis/0201218507508.html
· 重点辅导 ·居善地， 心善渊， 与善仁， 言善信， 政善治， 事善能， 动善时． 夫唯不争， 故无尤．— — —贝多芬◇ 福建 吴志坚 “ 点到直 线 的 距 离” 是 高 中 数 学 《 必 修 ２ 》 第 ３ 章“直线与方程” 中的内容， 它是我们求与直线有关距离 的基础， 也是研究直线与圆的位置关 系 的 重 要 工 具， 同时为后面学习圆锥曲线作准备． 笔者最近利用“ 化 归与转化” 的数学思想， 从特殊到一般， 归纳总结出６ 种推导点到直线距离公式的方法．问题 已知点 Ｐ （ ｘ ０， ｙ ０） ，直线ｌ ： Ａ ｘ ＋Ｂ ｙ ＋Ｃ ＝０ （Ａ ≠ ０ ， Ｂ ≠ ０ ） ， 求点 Ｐ到直线 ｌ的距离．１ 定义法 图１根据 定 义， 点 Ｐ 到 直 线ｌ 的距离是点Ｐ 到直线ｌ的垂线 段的长， 如图１ ， 设过点 Ｐ 与直 线 ｌ垂线的 为
ｌ ′ ， 垂 足 为 Ｑ ， 由 ｌ′ ⊥ ｌ可知ｌ ′ 的斜率为Ｂ ／ Ａ ， 知ｌ ′ 的方程为ｙ－ ｙ ０＝ＢＡ （ ｘ － ｘ ０）与ｌ的方程联立， 解得交点Ｑ （ Ｂ ２ ｘ ０－Ａ Ｂ ｙ ０－Ａ ＣＡ ２＋ Ｂ ２ ， Ａ ２ ｙ ０－Ａ Ｂ ｘ ０－ Ｂ ＣＡ ２＋ Ｂ ２ ） ，｜ Ｐ Ｑ ｜ ２＝（ Ｂ ２ ｘ ０－Ａ Ｂ ｙ ０－Ａ ＣＡ ２＋ Ｂ ２ － ｘ ０） ２＋（ Ａ ２ ｙ ０－Ａ Ｂ ｘ ０－ Ｂ ＣＡ ２＋ Ｂ ２ － ｙ ０） ２＝Ａ ２（ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ） ２ （Ａ ２＋ Ｂ ２） ２ ＋Ｂ ２（ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ） ２ （Ａ ２＋ Ｂ ２） ２ ＝ （ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ） ２ Ａ ２＋ Ｂ ２ ，所以 Ｐ Ｑ ｜ ＝ ｜ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ｜Ａ ２＋ Ｂ 槡 ２．２ 三角函数法设直线ｌ的倾斜角为α ， 过点 Ｐ 作Ｐ Ｍ∥ ｙ轴交ｌ 于点 Ｍ（ ｘ １， ｙ １） ， 显然 ｘ １＝ｘ ０， 所以ｙ １＝ －Ａ ｘ ０＋ Ｃ Ｂ，所以 ｜ Ｐ Ｍ ｜ ＝ ｜ ｙ ０＋Ａ ｘ ０＋ ＣＢ ｜ ＝ ｜ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ Ｂ ｜ ．易
得∠Ｍ Ｐ Ｑ ＝ α （ 图２ ） 或∠Ｍ Ｐ Ｑ ＝ １ ８ ０ ° － α （ 图３ ） ．图２ 图３在以上２种情况下都有ｔ ａ ｎ ２∠Ｍ Ｐ Ｑ ＝ ｔ ａ ｎ２ α ＝Ａ ２ ／ Ｂ ２，所以 ｃ ｏ ｓ ∠Ｍ Ｐ Ｑ ＝ １１ ＋ ｔ ａ ｎ ２ 槡α ＝ ｜ Ｂ ｜ Ａ ２＋ Ｂ 槡 ２所以｜ Ｐ Ｑ ｜ ＝ ｜ Ｐ Ｍ ｜ ｃ ｏ ｓ ∠Ｍ Ｐ Ｑ ＝｜ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ Ｂ ｜· ｜ Ｂ ｜ Ａ ２＋ Ｂ 槡 ２＝ ｜ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ｜ Ａ ２＋ Ｂ 槡 ２３ 等面积法 图４因为 Ａ ≠ ０ ， Ｂ ≠ ０ ， 则ｌ与ｘ轴、ｙ轴都相交， 如图４ ， 过点 Ｐ 作 ｘ 轴 的 平 行 线， 交 ｌ 于 点 Ｒ（ｘ １， ｙ ０） ； 作ｙ轴的平行线， 交ｌ于点Ｓ （ ｘ ０， ｙ ２） ， 由Ａ １ ｘ １＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ＝ ０ ，Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ２＋ Ｃ ＝ ０｛得ｘ １＝－ Ｂ ｙ ０－ ＣＡ ， ｙ ２＝－Ａ ｘ ０－ ＣＢ ． 所以，｜ Ｐ Ｒ ｜ ＝ ｜ ｘ ０－ ｘ １ ｜ ＝ ｜Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ Ａ ｜ ，｜ Ｐ Ｓ ｜ ＝ ｜ ｙ ０－ ｙ ２ ｜ ＝ ｜Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ Ｂ ｜ ，｜ Ｒ Ｓ ｜ ＝ Ｐ Ｒ ２＋Ｐ Ｓ 槡 ２＝ Ａ ２＋ Ｂ 槡 ２｜ Ａ Ｂ ｜ · ｜ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ｜ ．由三角形面积公式知ｄ · ｜ Ｒ Ｓ ｜
＝ ｜ Ｐ Ｒ ｜ · ｜ Ｐ Ｓ ｜ ， 所以ｄ ＝ ｜ Ａ ｘ ０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ｜４ 函数法对于直线ｌ上任一点 Ｍ（ ｘ ， ｙ ） ， 由 ２ 点间的距离公式 得｜ Ｐ Ｍ ｜２ ＝ （ ｘ－ｘ ０） ２ ＋ （ ｙ－ｙ ０） ２， 又 由 Ａ ｘ＋Ｂ ｙ ＋ Ｃ ＝ ０得ｙ ＝－ＡＢ ｘ－Ｃ Ｂ ， 代入消元得｜ Ｐ Ｍ ｜ ２＝（ ｘ － ｘ ０） ２＋（ －ＡＢ ｘ－Ｃ Ｂ－ ｙ ０） ２＝（ １ ＋Ａ ２ Ｂ ２） ｘ ２＋ ２ （ Ａ Ｃ Ｂ ２ ＋Ａ ｙ ０ Ｂ － ｘ ０） ｘ ＋ ｘ ２ ０＋（ Ｃ Ｂ＋ ｙ ０） ２． 从而转化为二次函数求最值问题（ 由于字母运算求解过程较为烦琐复杂， 此处略去） ， 可求得｜ Ｐ Ｍ ｜的最小值即为点 Ｐ到直线 ｌ的距离．５ 向量法 图５如图５所示， 设直线ｌ ： Ａ ｘ ＋Ｂ ｙ ＋ Ｃ ＝ ０ （ Ａ ≠ ０ ， Ｂ≠ ０ ） 的一个法向量 ｎ ＝（ １ ， ＢＡ ） ， Ｑ（ ｘ ， ｙ ） 为直 线上 任 意 一 点，所 以 →
Ｐ Ｑ
＝ （ｘ － ｘ ０， ｙ － ｙ ０） ， 从而点 Ｐ 到 直线的距离为９ １——贝多芬直线与方程” 中的内容， 它是我们求与直线有关距离的基础， 也是研究直线与圆的位置关 系 的 重 要 工 具，同时为后面学习圆锥曲线作准备． 笔者最近利用“ 化归与转化” 的数学思想， 从特殊到一般， 归纳总结出６种推导点到直线距离公式的方法．根据 定 义， 点 Ｐ 到 直 线ｌ的距离是点Ｐ 到直线ｌ的垂线段的长， 如图１ ， 设过点 Ｐ 与直线 ｌ垂线的 为ｌ ′ ， 垂 足 为 Ｑ ， 由ｌ′⊥ｌ可知ｌ ′ 的斜率为Ｂ ／ Ａ ， 知的方程为ｙ－ ｙ ０＝ＢＡ（ｘ － ｘ ０）Ｑ （Ｂ２ ｘ０－Ａ Ｂ ｙ ０－Ａ Ｃ２＋ Ｂｙ０－Ａ Ｂ ｘ ０－ Ｂ Ｃ）｜ＰＱ２＝（－ ｘ ０） ２＋－０）２＝Ａ２（０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ） ２２）＋＝槡设直线ｌ的倾斜角为α ， 过点 Ｐ 作Ｐ Ｍ∥ ｙ轴交ｌ于点 Ｍ（ ｘ １， ｙ １） ， 显然 ｘ １＝ｘ ０， 所以ｙ １＝ －Ａ ｘ ０＋ Ｃ｜ ＝ ｜０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ｜ ．ｔａｎ２∠Ｍ Ｐ Ｑ ＝ ｔ ａ ｎα＝Ａ／２，ｃｏｓ∠Ｍ Ｐ Ｑ ＝１１ ＋ ｔ｜ ＝ ｜ Ｐ Ｍ ｜ ｃ ｏ ｓ ∠Ｍ Ｐ Ｑ ＝·＝ ｜０＋ Ｂ ｙ ０＋ Ｃ ｜ｙ轴都相交， 如图４ ， 过点 Ｐ作 ｘ 轴 的 平 行 线， 交 ｌ 于 点Ｒ（１，；作ｙ轴的平行线， 交１＋ Ｂ ｙ ０＋
点到直线距离公式的6种推导方法
