HS华师版 初中九年级数学 中考总复习常考易考 教材基础知识整理梳理 第四单元 图形的初步认识与三角形

HS华师版 初中九年级数学 中考总复习常考易考 教材基础知识整理梳理 第四单元 图形的初步认识与三角形

第四单元 图形的初步认识与三角形

第14讲 平面图形与相交线、平行线

一、 知识清单梳理

知识点一：直线、线段、射线 1. （1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线． 基本事实 （2）线段的基本事实：两点之间，线段最短． 知识点二 ：角、角平分线 2.概念 3.角的度量 4.余角和补角 （1）角：有公共端点的两条射线组成的图形． （2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线 1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600'' ( 1 ) 余角：∠1＋∠2＝90°?∠1与∠2互为余角； ( 2 ) 补角：∠1＋∠2＝180°?∠1与∠2互为补角. （3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等． （1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”. （1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角. （2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°. （1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线． （2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 （1）平行线的性质与判定 ①同位角相等?两直线平行 ②内错角相等?两直线平行 ③同旁内角互补?两直线平行 （2）平行公理及其推论 ①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． ②平行于同一条直线的两直线平行． 知识点四 ：命题与证明 （1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题. （2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成\如果p，那么q\的形式，其中p是题设，q是结论. （3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成例：下列命题是假命题的有( ③ ) ①相等的角不一定是对顶角； ②同角的补角相等； ③如果某命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题； ④若某个命题是定理，则该命题一定是真一个角的同位角、内错角或同旁内角可能不止一个，要注意多方位观察 例：在平面中，三条直线相交于1点，则图中有6组对顶角. 例：如图所示，点 A到BC的距离为AB，点B到AC的距离为BD，点C到AB的距离为BC. AD关键点拨 例：在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要2枚钉子，依据的是两点确定一条直线. 例： （1）15°25'＝15.5°； 37°24'45''＋32°48'49''＝70°13'34''. （2）32°的余角是58°，32°的补角是148°. 知识点三 ：相交线、平行线 5.三线八角 6.对顶角、邻补角 7.垂线 BC（1）如果出现两条平行线被其中一条折线所截，那么一般要通过折点作已知直线的平行线. （2）在平行线的查考时，通常会结合对顶角、角平分线、三角形的内角和以及三角形的外角性质，解题时注意这些性质的综合运用. 8.平行线 9.命题与证明 第 1 页 共 8 页

HS华师版 初中九年级数学 中考总复习常考易考 教材基础知识整理梳理 第四单元 图形的初步认识与三角形

立就可以了. 命题.

第15讲 一般三角形及其性质

二、 知识清单梳理

知识点一：三角形的分类及性质 （1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类 关键点拨与对应举例 1.三角形的分类 失分点警示： ?直角三角形?不等边三角形在运用分类讨论思想计算等腰??三角形?三角形??锐角三角形?底和腰不相等的等腰三角形 三角形周长时，必须考虑三角形?斜三角形?钝角三角形?等腰三角形?等边三角形???? 三边关系. 例：等腰三角形两边长分别是32.三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）内角和定理： ①三角形的内角和等180°； ②推论：直角三角形的两锐角互余. （2）外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. ②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角. 性 质 四线 （1） 角平线上的点到角两边的距离相等 角平分线 （2） 三角形的三条角平分线的相交于一点（内心） （1） 将三角形的面积等分 中线 （2） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部 平行于第三边，且等于第三边的一半 和6，则该三角形的周长为15. 利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解. 3.角的关系 （1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件. （2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 4.三角形中的重要线段 高 中位线 5. 三角形中内、外角与角平分线如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=11∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-对于解答选择、填空题，可221∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）； 2以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.

第 2 页 共 8 页

HS华师版 初中九年级数学 中考总复习常考易考 教材基础知识整理梳理 第四单元 图形的初步认识与三角形

的规律总结 1∠A+90°； 211如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=22如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠O； 如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-1∠A. 2 知识点二 ：三角形全等的性质与判定 (1)全等三角形的对应边、对应角相等． 6.全等三(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 角形的性质 (3)全等三角形的周长等、面积等． 一般三角形全等 直角三角形全等 SSS（三边对应相等） SAS（两边和它们的夹角对应相等） ASA（两角和它们的夹角对应相等） AAS（两角和其中一个角的对边对应相等） 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. 失分点警示 如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等. 7.三角形全等的判定 (1)斜边和一条直角边对应相等（HL） (2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS. 8.全等三角形的运用 （1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法： ①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等. ②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④. 例： 如图，在△ABC中，已知∠1=∠AB=5CE=3. 2，，，BE=CDAE=2，则

第 3 页 共 8 页

HS华师版 初中九年级数学 中考总复习常考易考 教材基础知识整理梳理 第四单元 图形的初步认识与三角形

第16讲 等腰、等边及直角三角形

三、 知识清单梳理 知识点一：等腰和等边三角形 （1）性质 关键点拨与对应举例 （1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形. ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC?∠B＝∠C； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 1.等腰三角形 互相重合; ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴. （2）判定 ①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形； ②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°. （1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质. （2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB. 例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9. （1）性质 ①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角2.等边平分线或中线)所在的直线是对称轴. 三角形 （2）判定 ①定义：三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； ③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形. 知识点二 ：角平分线和垂直平分线 3.角平分线 4.垂直平分线图形 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若 ∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平 分线上． （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB. （2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． (1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°； 5.直角三角形的性质 A例：如图，△ABC中，∠C=90°，PCO12B∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6. CPAOB知识点三：直角三角形的判定与性质 1(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB； 2(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则A1bCD＝AB. 2C(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 cD（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问Ba题.

第 4 页 共 8 页

HS华师版 初中九年级数学 中考总复习常考易考 教材基础知识整理梳理 第四单元 图形的初步认识与三角形

a2＋b2＝c2 . (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△； (2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△ (3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△. AcbCaD（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论. （3）在折叠问题中，求长度，往B6.直角三角形的判定

往需要结合勾股定理来列方程解决. 第17讲 相似三角形

四、 知识清单梳理

知识点一：比例线段 关键点拨与对应举例 列比例等式时，注意四条线段的大小ac?，顺序，防止出现比例混乱. bd那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 已知比例式的值，求相关字母代数式的值，ac(1)基本性质：?? ad＝bc；（b、d≠0） bd常用引入参数法，将所有的量都统一用含同在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即1. 比例 线段 2.比例 的基本性质 aca?bc?d(2)合比性质：??＝；（b、d≠0） bdbd(3)等比性质：一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解. 例：若l1ABCl2DEFl3l4l5acm?＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)? bdna?c?...?m＝k.（b、d、···、n≠0） b?d?...?na3a?b8?，则?. b5b5（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 ABDE段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. ?BCEF3.平行线分线OAOB. ?段成比即如图所示，若AB∥CD，则ODOC例定理 （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. CAOB利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，5要使DE∥AB，那么BC：CD应等于. 3DADBEC4.黄金分割 例：把长为10cm的线段进行黄金分5－1AC点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，AB2割，那么较长线段长为5(5－1)cm． 那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割

第 5 页 共 8 页