[练案46]第五讲 直线、平面垂直的判定与性质
A组基础巩固
一、单选题
1．(2019·青岛质检)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出
a⊥b的是( C )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β C．a?α，b⊥β，α∥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β D．a?α，b∥β，α⊥β
[解析] 对于C项，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b.故选C. 2．(2020·湖北省黄冈市质检)若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“l⊥m”的( A )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由l⊥α，m∥α，∴l⊥m反之不成立，可能m?α.
3．(2019·福建泉州质检)如图，在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( D )
[解析] 如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，
N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，
不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意．故选D.
4．(2019·天津模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( B ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
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[解析] 对于A项，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A项错误；易知B项正确；对于C项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l?β，故C项错误；对于D项，若α⊥
β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D项错误，故选B.
5．(2019·河北衡水模拟)已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，在下列命题中：
①若m⊥n，l⊥n，则m∥l；
②若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥β； ③若m∥l，m⊥α，l?β，则α⊥β；
④若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β. 其中正确命题的序号为( B ) A．①③ C．②④ [解析]
B．③④ D．①③④
如正方体同一个顶点的三条棱，满足①的条件，但三条棱都相交，故①错；如图，α∥
β，故②错；因为m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l?β，所以α⊥β，故③正确；由面面垂直
的性质知，④正确．故正确的命题为③④.故选B.
6．(2019·长春质检)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠
BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是( D )
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ACD⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BCD D．平面ACD⊥平面ABD
[解析] 由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.
7．(2020·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题： ①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
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②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD； ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD； ④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD. 其中为真命题的是( D ) A．①② C．②④
B．②③ D．①④
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[解析]
①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD：④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O为△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.
二、多选题
8．(2020·广东珠海期末改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，
M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ垂直的是( ABC )
9．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线
BD折起．设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.给出下面四个命题：( CD )
A．A′D⊥BC
B．三棱锥A′－BCD的体积为C．CD⊥平面A′BD D．平面A′BC⊥平面A′DC
[解析] 如图所示：E为BD中点，连接A′E，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB得到∠DBC＝∠ADB＝45°，又∠BCD＝45°，故△BCD为等腰直角三角形，平面A′BD⊥平面BCD，CD⊥
2
2
BD，所以CD⊥平面A′BD，所以C正确，E为BD中点，A′E⊥BD，则A′E⊥平面BCD，所以A′E⊥BC.如果A′D⊥BC，则可得到BC⊥平面A′BD，故BC⊥BD与已知矛盾．故A错误；三
1122
棱锥A′－BCD的体积为S＝××2×2×＝.故B错误．在直角三角形A′CD中，A′C2
3226＝CD＋A′D，∴A′C＝3，在三角形A′BC中，A′B＝1，BC＝2，A′C＝3满足BC＝A′B22
2
2
2
＋A′C，∴BA′⊥CA′，又BA′⊥DA′，所以BA′⊥平面A′DC，所以平面A′BC⊥平面A′DC，故D正确．答案为C、D.
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10．(2020·广东江门调研改编)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( AB )
A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
[解析] 对于A，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α＝l，可得n∥l，又因为
m⊥α，l?α，所以m⊥l，结合n∥l，得m⊥n.由此可得A是真命题；对于B，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故B是真命题；对于C，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥
α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故C不正确；对于D，设平面α、β、γ是位于正方体
经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故D不正确．综上所述，故选AB.
三、填空题
11．(2019·湖南五校联考)已知直线m、l，平面α、β，且m⊥α，l?β，给出下列命题：
①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l； ③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β. 其中正确的命题是__①④__.
[解析] 对于①，若α∥β，m⊥α，l?β，则m⊥l，故①正确；对于②，若α⊥β，则m∥l或m与l垂直，或m与l异面，故②错误；对于③，若m⊥l，则α∥β或α与β相交，故③错误；对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l?β，所以α⊥β，故④正确．
12．(2020·黄冈质检)如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，
E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是__①②③__.
[解析] ①由于PA⊥平面ABC，因此PA⊥BC，又AC⊥BC，因此BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF，由于PC⊥AF，因此AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB；②因为AE⊥PB，AF⊥PB，所以PB⊥平面AEF，因此EF⊥PB；③在①中已证明AF⊥BC；④若AE⊥平面PBC，由①知AF⊥平面PBC，
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(山东专用)2021版高考数学一轮复习练案(46)第七章立体几何第五讲直线、平面垂直的判定与性质(含解析)
