?0?x2??F(x)??22x?2x??12???1x?00?x?1
1?x?22?x（2）中的f (x)与F (x)的图形如下 0 1 2 x 0 1 2 x
f (x) F (x) 22.[二十] 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：
?1000?f(x)??x2??0x?1000其它
现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少
解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为
P(X?1500)?1?P(X?1500)?1??1?(1?22)?33?150010001000?1000(?1)1500?dx?1???x1000??x2
令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y~B(5,2)，321??11P(Y?2)?1?P(Y?2)?1??P(Y?0)?P(Y?1)??1??()5?C5?()?()4?33??3
1?5?211232?1??1??5243243323.[二十一] 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：
x?1?5?FX(x)??5e,x?0
??0,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。
解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为
???1???5P(X?10)?fX(x)dx?edx??e510?e?2
10510?5?因此Y~B(5,e?2).即P(Y?k)???e?2k(1?e?2)5?k,(k?1,2,3,4,5
?k?15P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?2)5?1?(1?)?1?(1?0.1353363)57.389?1?0.86775?1?0.4833?0.5167.????xx 24.[二十二] 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x2?4xK?K?2?0有实根的概率
1?? ∵ K的分布密度为：f(K)??5?0??00?K?5其他
要方程有根，就是要K满足(4K)2－4×4× (K+2)≥0。 解不等式，得K≥2时，方程有实根。 ∴
??2P(K?2)??1f(x)dx?dx?25?5???50dx?3 525.[二十三] 设X～N（）
（1）求P (2
β?μ??α?μ? ∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α ∴ 10?3???4?3?=φ－φ(－ P (－4 P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 ) ?2?3???2?3?? =1???????????2????2?? =1－φ(－ +φ(－ =1－+= ?3?3?P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ??=1－= 2??（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ 得 又 P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) P (X≤C )= 1= 2∴ C =3 2C?3?C?3P (X≤C )=φ??0 ???0.5,查表可得2?2?26.[二十四] 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N(110,12)在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求 （1）P (X≤105)，P (100 105?110)??(?0.4167)?1??(0.4167)?1?0.6616?0.3384 解:(1)P(X?105)??(12120?110100?11055P(100?X?120)??()??()??()??(?)121266 5?2?()?1?2?(0.8333)?1?2?0.7976?1?0.59526(2)P(X?x)?1?P(X?x)?1??(x?110x?110)?0.05??()?0.95.1212x?110查表得?1.645.?x?110?19.74?129.74.故最小的X?129.74.12 27.[二十五] 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=，σ=的正态分布。规定长度在范围±内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少 设螺栓长度为X P{X不属于－, + =1－P － ??(10.05?0.12)?10.05??(10.05?0.12)?10.05???? =1－??????? 0.060.06?????? =1－{φ(2)－φ(－2)} =1－{－} = 28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X≤200＝=，允许σ最大为多少 200?160??120?160????40?????40??0.80 ∵ P (120＜X≤200)=????????????σσ?????σ??σ?又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x) 40???40???0.80 ∴ 上式变为??????1?????σ???σ???40??40??0.9 解出????便得:????σ??σ? 再查表，得 4040?1.281σ??31.25 σ1.28130.[二十七] 设随机变量X的分布律为： X：－2， P： －1， 0， 1， 3 1， 5111， ， ， 6515 (－1)2 (0)2 11 30(1)2 (3)2 求Y=X 2的分布律 ∵ Y=X 2：(－2)2 P： 1 5111 6515 4 9 11 30再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： ∴ Y： 0 1 P： 511? 615 1 1 511 3031.[二十八] 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=eX的分布密度 ?1∵ X的分布密度为：f(x)???0 Y=g (X) =eX是单调增函数 X=h (Y)=lnY，反函数存在 0?x?1 x为其他又 且 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1 ??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e ?f[h(y)]?|h'(y)|?1?1?∴ Y的分布密度为：ψ(y)??y?0?（2）求Y=－2lnX的概率密度。 ∵ 又 Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数 反函数存在。 Y?e21?y?ey为其他 X?h(Y)?且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0 β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞ yy?1?21?2?e?f[h(y)]?|h'(y)|?1??e∴ Y的分布密度为：ψ(y)??22?0?0?y???y为其他 32.[二十九] 设X～N（0，1） （1）求Y=eX的概率密度 ∵ X的概率密度是f(x)? Y= g (X)=eX 又 且 ?1e2πx22,???x??? 是单调增函数 X= h (Y ) = lnY 反函数存在 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为： (lny)2???f[h(y)]?|h'(y)|?1e2?1ψ(y)??y2π?0?0?y??? y为其他（2）求Y=2X2+1的概率密度。 在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y）， 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y) ? =P????当y<1时：FY ( y)=0 y?1?X?2y?12?? ???当y≥1时：Fy(y)?P????故Y的分布密度ψ( y)是： y?1?X?2y?1???2???y?12?y?121e2π?x22dx 当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0
概率论与数理统计浙江大学第四版-课后习题答案（完全版）28127
