数学答疑组 ROUND 1
SOLUTION
Problem A
简单容斥：又大又圆的西瓜=圆西瓜 + 又小又椭的西瓜 - 小西瓜=20+10-25=5
Problem B
时间=3/0.4+3/1.6=9.375，速度=6/9.375=0.64
Problem C
改编自经典牛吃草问题，设原来有x个西瓜，每小时长y个，每头狼每小时吃z个，可得6y+x=36z，10y+x=40z，y+2=2z，解得x=60，y=2，z=2。答案=60/(2.5*2-2)=20。
Problem D
设每小时多长出a个西瓜，则有(4-1)*(4-1)*a+2*4+60=10*4*2，解得a=2。设小狼每小时吃b个西瓜，依题意方程x*x+x+60=b*x无正根，则b的最大取值为16。
Problem E
题意即是求152608529和1311388632的最大公约数，套用欧几里得算法可得最大公约数为2333。
Problem F
都是套路……
(a+b)2?c2a2+b2?c2
cosC+2sinC+cos2C=cosC+1=+1=
2ab2ab
(a+b+c)(a+b?c)1==7?=1.75
2ab4
2
Problem G （摘自金山中学2015年信息学招生考试）
将西瓜分成5组分别比较，留下各组前3名，再取各组第一名进行第6次比较，第6次比较的4、5名所在组全组都可以丢弃，第3名所在组的第2、3名和第2名所在组的第3名也都可以丢弃，这时只剩下5个西瓜，进行第7次比较即可。
Problem H
设圆心向前移动的距离为t，则该点的高度为1-cost，向前移动距离为t+sint，那么可以进行积分：
2π
∫
02π
(1?cost)d(t?sint) (1?cost)?(1?cost)dt (1?2cost+cost?cost)dt
1+cos2t
dt 20
=3π
2π
=∫
02π
=∫
0
=2π+∫
即最后结果为9.42
Problem I
假如不考虑翻转，方案数=4^6+4^5*6+4^2*15=6144+3840+4096=14080，翻转则会导致不对称的链被重复计数，那么先求出对称的链的数量4^3+4^2*3=112，则链的数量为(14080+112)/2=7096。得到不同的链的数量以后再7096*(7096+1)/2=25180156得到不同组合的数量。
Problem J
用A(n,m)表示An的第m项，则容易得到A(n,m)=A(n-1,m)+A(n,m-1)，发现这与组合数C的递推式十分相似，将二维数列放到矩阵上就可以发现A(n,m)即为从(1,1)走到(n,m)的方案数，即A(n+1,m+1)=C(n+m,n)，A(31,41)=C(70,30)= 55347740058143507128，后6位即507128
Problem K
本题是burnside定理的最基础应用，请自行百度，或者可以看一下煞笔出题人在学burnside之前的理解（其实跟burnside是一个道理），是博客中的problem B。最后的答案是2635。
Problem L （摘自NOIP2013笔试）
第一次看见这题我是用极限求和写出来的（智商太低>_<）。 当Swm站在k号西瓜上时，他会等概率地跳到1到k号西瓜上，那么ANSk=1+（ANS1+ANS2+……+ANSk）/k，从而得出ANSk=k/(k-1)+（ANS1+ANS2+……+ANSk-1）/(k-1)，然后依次推到5就可以了，答案为37/12≈3.08。
Problem M
首先，将每个质数分开讨论可以得到这样一个式子：
nm
σ(n?m)=∑∑??[gcd?(i,j)=1]
ij
i=1j=1n
m
那么我们可以进行莫比乌斯反演最后得到
3030
ans=∑μ(d)?f()?f()
ii
d=130
其中f为σ的前缀和。那么我们可以先算出1到30的莫比乌斯函数和f函数的值，再进
行求和。最后答案为9430。
Problem N
Problem O
Problem P
Problem Q
数学答疑组_Round_1_solution
