考研《高等代数》考研考点与考研真题详解
第1章 多项式 1.1 考点归纳 一、一元多项式 1．数环与数域 （1）数环
设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a－b，a·b∈S，则称S是一个数环．
整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环． （2）数域
设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域．
有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域． 2．一元多项式
设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为． 3．一元多项式环
所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域． 二、整除的概念 1．带余除法定义
对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．
带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f（x）的余式． 2．整除定义
如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f（x）则用“g（x）f（x）”表示．
当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式． 3．整除性的判别
对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．
注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式． 4．整除性的常用性质
（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c为非零常数；
（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；
（3）如果f（x）丨gi（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）gl（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋ur（x）gr（x）），其中ui（x）是常数域P上任意的多项式． 三、最大公因式 1．公因式定义
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