浙大第四版(高等教育出版社)
第一章 概率论的基本概念
1.[一] 写出下列随机试验的样本空间
(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一] 1)
o1n?100?S???,???,nn??nn表小班人数
(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。
([一] 2)
S={10,11,12,………,n,………}
(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。 ([一] (3))
S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,
1110,1111,} 2.[二] 设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。
(1)A发生,B与C不发生。 表示为:
ABC或A- (AB+AC)或A- (B∪C)
(2)A,B都发生,而C不发生。 表示为:
ABC或
AB-ABC或AB-C
表示为:A+B+C
(3)A,B,C中至少有一个发生 (4)A,B,C都发生, (5)A,B,C都不发生, (A+B+C)或A?B?C
表示为:ABC
表示为:
ABC或S-
(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生
相当于
AB?BC?ACAB,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为:
。
(7)A,B,C中不多于二个发生。
相当于:A,B,C中至少有一个发生。故 表示为:A?B?C或ABC (8)A,B,C中至少有二个发生。
相当于:AB,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为:AB+BC+AC
6.[三] 设A,B是两事件且P (A)=0.6,P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P (AB)取到最小值,最小值是多少?
解:由P (A) = 0.6,P (B) = 0.7即知AB≠φ,(否则AB = φ依互斥事件加法定理, P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾).
从而由加法定理得
P (AB)=P (A)+P (B)-P (A∪B)
(*)
(1)从0≤P(AB)≤P(A)知,当AB=A,即A∩B时P(AB)取到最大值,最大值为
P(AB)=P(A)=0.6,
(2)从(*)式知,当A∪B=S时,P(AB)取最小值,最小值为 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3 。 7.[四]
P(A)?P(B)?P(C)?设A,B,C是三事件,且. 求A,B,C至少有
11,P(AB)?P(BC)?0,P(AC)?48一个发生的概率。
解:P (A,B,C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+ P(ABC)=
315??0?488
8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新
组成的单词,若从26个英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少?
记A表“能排成上述单词”
2
∵ 从26个任选两个来排列,排法有A26种。每种排法等可能。
字典中的二个不同字母组成的单词:55个 ∴
P(A)?5511?2130A26
9. 在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数全不相
同的概率。(设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2……9)
记A表“后四个数全不同”
∵ 后四个数的排法有104种,每种排法等可能。
4后四个数全不同的排法有A10
∴
4A10P(A)?4?0.504
1010.[六] 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念
章,任意选3人记录其纪念章的号码。
(1)求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
10?∵ 10人中任选3人为一组:选法有??3?种,且每种选法等可
??能。
又事件A相当于:有一人号码为5,其余2人号码大于5。这
5?种组合的种数有1???2?
??∴
5?1???2????1P(A)?12?10??3???
(2)求最大的号码为5的概率。
记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3
10?人,选法有??3?种,且每种选法等可能,又事件B相当于:有一人
??4?号码为5,其余2人号码小于5,选法有1???2?种
??
4?1???2????1P(B)?20?10??3???
11.[七] 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。在搬运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少?
记所求事件为A。
9在17桶中任取9桶的取法有C17种,且每种取法等可能。
432?C4?C3取得4白3黑2红的取法有C10
432C10?C4?C3252P(A)??62431C17故
12.[八] 在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意
取200个。
(1)求恰有90个次品的概率。 记“恰有90个次品”为事件A
1500?∵ 在1500个产品中任取200个,取法有??200?种,每种取法
??等可能。
400??1100?200个产品恰有90个次品,取法有??90??110?种
?????400??1100??90??110????P(A)???1500??200???∴
(2)至少有2个次品的概率。 记:A表“至少有2个次品”
B0表“不含有次品”,B1表“只含有一个次品”,同上,200个
1100?产品不含次品,取法有??200?种,200个产品含一个次品,取法有
???400??1100?种 ?1??199?????∵ ∴
A?B0?B1且B0,B1互不相容。
?400??1100???1??199?????? ??1500???200?????
??1100???200????P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1??1500????200?????13.[九] 从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只
配成一双的概率是多少?