14? 求下列函数的反函数?
(1)y?3x?1错误!未指定书签。错误!未指定书签。? 解 由y?3x?1得x?y3?1? 所以y?3x?1的反函数为y?x3?1? (2)y?1?x错误!未指定书签。?
1?x1?y 解 由y?1?x得x?? 所以y?1?x的反函数为y?1?x?
1?y1?x1?x1?x (3)y?ax?b(ad?bc?0)?
cx?d?dy?b 解 由y?ax?b得x?? 所以y?ax?b的反函数为y??dx?b?
cy?acx?dcx?dcx?a (4) y?2sin3x?
y 解 由y?2sin 3x得x?1arcsin? 所以y?2sin3x的反函数为y?1arcsinx?
3232 (5) y?1?ln(x?2)?
解 由y?1?ln(x?2)得x?ey?1?2? 所以y?1?ln(x?2)的反函数为y?ex?1?2?
x2 (6)y?x? 2?1xy2x的反函数为y?logx? x?log 解 由y?2得? 所以y?221?y1?x2x?12x?1 15? 设函数f(x)在数集X上有定义? 试证? 函数f(x)在X上有界的充分必要
条件是它在X上既有上界又有下界?
证明 先证必要性? 设函数f(x)在X上有界? 则存在正数M? 使|f(x)|?M? 即?M?f(x)?M? 这就证明了f(x)在X上有下界?M和上界M?
再证充分性? 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2? 即K1?f(x)? K2 ? 取M?max{|K1|? |K2|}? 则 ?M? K1?f(x)? K2?M ? 即 |f(x)|?M?
这就证明了f(x)在X上有界?
16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值? (1) y?u2? u?sin x? x1??? x2???
63 解 y?sin2x? y1?sin2??(1)2?1?y2?sin2??(3)2?3?
324624 (2) y?sin u? u?2x? x1???x2???
84 解 y?sin2x? y1?sin(2??)?sin??2?y2?sin(2??)?sin??1? 84242 (3)y?u? u?1?x2? x1?1? x2? 2?
解 y?1?x2? y1?1?12?2? y2?1?22?5? (4) y?eu? u?x2? x1 ?0? x2?1? 解 y?ex? y1?e0?1? y2?e1?e?
(5) y?u2 ? u?ex ? x1?1? x2??1?
解 y?e2x? y1?e2?1?e2? y2?e2?(?1)?e?2?
17? 设f(x)的定义域D?[0? 1]? 求下列各函数的定义域? (1) f(x2)?
解 由0?x2?1得|x|?1? 所以函数f(x2)的定义域为[?1? 1]? (2) f(sinx)?
解 由0?sin x?1得2n??x?(2n?1)? (n?0? ?1? ?2? ? ?)? 所以函数f(sin x)的定义域为
[2n?? (2n?1)?] (n?0? ?1? ?2? ? ?) ? (3) f(x?a)(a>0)?
解 由0?x?a?1得?a?x?1?a? 所以函数f(x?a)的定义域为[?a? 1?a]? (4) f(x?a)?f(x?a)(a?0)?
解 由0?x?a?1且0?x?a?1得? 当0?a?1时? a?x?1?a? 当a?1时? 无解? 因
22此当0?a?1时函数的定义域为[a? 1?a]? 当a?1时函数无意义?
22|x|?1?1 ?|x|?1? 18? 设f(x)??0 g(x)?ex 错误!未指定书签。? 求f[g(x)]和g[f(x)]?
?|x|?1??1 222并作出这两个函数的图形?
?1 |ex|?1x?0?1 ??x?0? |ex|?1? 即f[g(x)]??0 解 f[g(x)]??0 ???1 x?0|ex|?1??1 ??e1 |x|?1?e |x|?1?? g[f(x)]?ef(x)??e0 |x|?1? 即g[f(x)]??1 |x|?1?
?1??e?1 e |x|?1|x|?1?? 19? 已知水渠的横断面为等腰梯形? 斜角??40?(图1?37)? 当过水断面ABCD的面积为定值S0时? 求湿周L(L?AB?BC?CD)与水深h之间的函数关系式? 并指明其定义域? 图1?37
解 AB?DC?h?? 又从
sin401h[BC?(BC?2cot40??h)]?S得
02S?BC?0?cot40?h? 所以
hS02?cos40?L???h? hsin40 自变量h的取值范围应由不等式组
S?h?0? 0?cot40?h?0
h确定? 定义域为0?h?S0cot40?
20? 收敛音机每台售价为90元? 成本为60元? 厂方为鼓励销售商大量采购? 决定凡是订购量超过100台以上的? 每多订购1台? 售价就降低1分? 但最低价为每台75元?
(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数? (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数? (3)某一商行订购了1000台? 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0?x?100时? p?90?
令0?01(x0?100)?90?75? 得x0?1600? 因此当x?1600时? p?75? 当100?x?1600时?
p?90?(x?100)?0?01?91?0? 01x? 综合上述结果得到
0?x?100?90 ?100?x?1600? p??91?0.01x ?75 x?1600??30x 0?x?100?? (2)P?(p?60)x??31x?0.01x2 100?x?1600?
?15x x?1600? (3) P?31?1000?0?01?10002?21000(元)?
习题1?2
1? 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势? 写出它们的极限? (1)xn?1? n21?0? 解 当n??时? xn?1?0? limn??2n2n (2)xn?(?1)n1?
n 解 当n??时? xn?(?1)n1?0? lim(?1)n1?0?
n??nn (3)xn?2?12?
n 解 当n??时? xn?2?12?2? lim(2?1)?2?
n??nn2 (4)xn?n?1?
n?1 解 当n??时? xn?n?1?1?2?0? limn?1?1?
n??n?1n?1n?1 (5) xn?n(?1)n?
解 当n??时? xn?n(?1)n没有极限?
cosn?2? 问limx?? 求出N? 使当n?N时? xn与其 2? 设数列{xn}的一般项xn?n??nn极限之差的绝对值小于正数? ? 当? ?0?001时? 求出数N? 解 limxn?0?
n??|cosn?|12?? ?? ?0? 要使|x n?0|?? ? 只要1??? 也就是n?1? 取 |xn?0|?nnn??则?n?N? 有|xn?0|?? ?
当? ?0?001时? N?[1]?1000?
N?[1]?
? 3? 根据数列极限的定义证明? (1)lim12?0?
n??n1??? 只须n2?1? 即n?1? 分析 要使|1?0|??n2n2?1?0? 证明 因为???0? ?N?[1]? 当n?N时? 有|1? 所以?0|??limn??n2n2? (2)lim3n?1?3?
n??2n?123n?1?3|?1?1?? 分析 要使|? 只须1??? 即n?1? 2n?122(2n?1)4n4?4n 证明 因为???0? ?N?[1]? 当n?N时? 有|3n?1?3|??? 所以lim3n?1?3?
n??2n?122n?124? (3)limn??n2?a2?1?
n2222222an?an?a?naa 分析 要使|?1|?????? 只须n??
22?nnn(n?a?n)n222an?a证明 因为???0? ?N?[]? 当?n?N时? 有|?1|??? 所以
n?n??limn2?a2?1?
nn??n个 (4)lim0999 ? ? 9?1? ?.?? ???1?? ? 即1? 分析 要使|0?99 ? ? ? 9?1|?1? 只须??n?1?lg?10n?110n?1证明 因为???0? ?N?[1?lg1]? 当?n?N时? 有|0?99 ? ? ? 9?1|?? ? 所以
?n????lim0.999 ? ? 9?1? ? ???n个
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题测验答案解析
