核心素养提升练
定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用 (25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.设f(x)=若f(f(1))=1,则a= ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选D.f(1)=0,又f(x)=x+解得a=1.
3t2dt=x+a3,x≤0,则f(f(1))=f(0)=0+a3=1,
2.曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 ( )
A. B. C. D. 【解析】选A.由可得
或
所以曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积如图阴影部分为
(x-2x-x2)dx==.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=a5+a6=
dx,则
( )
A. B.12 C.6 D.
【解析】选D.S10=dx=
dx+=+1-=1=
=5(a5+a6),得a5+a6=.
4.函数f(x)=为
的图象与x轴所围成的封闭图形的面积
( )
A. B.2 C.3 D.4
【解析】选D.由题意,函数f(x)=的图象与x轴所围成
的封闭图形的面积为三角形面积加上一曲边梯形面积为×2×2+2cos xdx
=2+2sin x=2+2=4.
5.等比数列{an}中a3=9,前3项和为S3=3A.1 B.- C.1或- D.-1或-
x2dx,则公比q的值是 ( )
【解析】选C.S3=3x2dx=x3=33=27,
即前三项和为S3=27, 因为a3=9,
所以即
所以=,即2q2-q-1=0,
解得q=1或q=-.
6.如图,四边形OABC是边长为2的正方形,曲线段DE所在的曲线方程为xy=1,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 ( )
A.
B.
C. D.
【解析】选A.根据条件可知,E,阴影部分的面积为dx=(2x-
ln x)=3-2ln 2,
所以豆子落在阴影部分的概率为.
7.若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的
一组正交函数,给出三组函数①f(x)=sinx,g(x)=cosx; ②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=的正交函数的组数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
,g(x)=x,其中为区间[-1,1]上
【解析】选B.函数f(x),g(x)满足f(x)g(x) dx=0,则y=f(x)·g(x)为奇函
数,对于①,f(x)=sinx,g(x)=cosx,所以f(x)·g(x)=sinx·cosx=sinx,为奇函数,所以f(x),g(x)在区间[-1,1]上是一组正交函数;
对于②,f(x)=x+1,g(x)=x-1,则f(x)g(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,为偶函数,所以f(x),g(x)在区间[-1,1]上不是一组正交函数;
对于③:f(x)=则f(x)g(x)=
g(x)=x, ,为偶函数,
所以f(x),g(x)在区间[-1,1]上不是一组正交函数. 二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2024·昆明模拟)计算dx=________.
【解析】=
答案:+ln
dx==+ln.
dx
9.已知m=(cos x-x+3sin2x)dx,则的展开式中,常数项为
________. 【解析】m=(cos x-x+3sin 2x)dx
==2,
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