2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试
选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题） 1. 不等式x?2x?1?0的解集为_____________．
2. 在三棱锥P?ABC中，PA?底面ABC，AC?BC，AC?2，二面角P?BC?A的大
小为60?，三棱锥P?ABC的体积为46，则直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为
332________．
3. 当实数m变化时，不在任何直线2mx?形成的图形的面积为_____________．
?1?m?y?4m?4?0上的所有点?x,y?2?2x?11???x2,x????,?2?,???4. 已知函数f?x??．g?ln?x?1?,x???1,?????2?????x??x2?4x?4．设b为实数，若存
在实数a，使f?a??g?b??0，则b的取值范围是___________．
填空题（每题6分，共24分）
5. 已知0?a?1，分别在区间?0,a?和?0,4?a?内任取一个数，且取出的两数之和小于1
的概率为
6. 设e1，e2为平面上夹角为?（0????）的两个单位向量，O为平面上的一个固定点，23．则a的值为_______________． 16当OP?xe1?ye2时，定义?x,y?为点P的斜坐标．现有两个点A，P为平面上任意一点，
B的斜坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?．则A，B两点的距离为______________．
????7. 若函数y?sin??x??的图象的对称中心与y轴距离最小的对称轴为x?，则实数?4?6?的值为_____．
8. 已知集合A，B满足A
B??1,2,3,,8?，AB??．若A中元素的个数不是A中的
元素，B中元素的个数不是B中的元素，则满足条件的所有不同的集合A的个数为___________．
解答题（共56分）
9. （13分）设??R，函数f?x??2sin2xcos??2cos2xsin??2cos?2x????cos?，
???????（1）若???,?，求f?x?在区间?0,?上的最大值． x?R．
?4??42?（2）若f?x??3，求?与x的值．
x2y210. （13分）已知双曲线2?2?1（a?0，b?0）的两条渐进线的斜率之积为?3，左
ab右两支上分别由动点A和B．
（1）设直线AB的斜率为1，经过点D?0,5a?，且AD??DB，求实数?的值． （2）设点A关于x轴的对称点为M．若直线AB，MB分别与x轴相交于点P，Q，O为坐标原点，证明OP?OQ?a2．
11. （15分）已知f?x?为R上的可导函数，对任意的x0?R，有0?f'?x?x0??f'?x0??4x，
x?0．
（1）对任意的x0?R，证明：f'?x0??f?x?x0??f?x0?x（x?0）；
（2）若f?x??1，x?R，证明f'?x??4，x?R．
2
12. （15分）已知实数列?an?满足a1?1，an?1?qan，常数q?1．对任意的n?N?，n?N?，
有?ak?4an．设C为所有满足上述条件的数列?an?的集合．
k?1n?1（1）求q的值；
（2）设?an?，且存在n0?m，使an0?bn??C，m?N?，
?bn0．证明：?ak??bkk?1k?1mm；
?m?（3）设集合Am???ak?an??C?，m?N?，求
?k?1?
Am中所有正数之和．
附录2：2014年卓越联盟自主招生数学参考答案 ．．
选择题（注：原题是选择题） ?1?5??1?5?22???11?x?x1. 答案：?．提示：，把原式视作x的三次多项式分解因???????22????式即可． 32. 答案：．提示：仔细算算．
33. 答案：4?．提示：原式视作m的二次方程ym2??2x?4?m?4?y?0，判别式?0即可． 4. 答案：??1,5?．提示：仔细算算． 填空题
45. 答案：．提示：可转化为“线性规划+几何概型”问题．
5226. 答案：?x1?x2???y1?y2??2?x1?x2??y1?y2?cos?．提示：显然．
37. 答案：．提示：仔细算算．
28. 答案：44．提示：按A中元素个数（A??,1,2,…）逐个进行分类讨论．
解答题
3?9. 答案：（1）2?cos?；（2）??2k?，（k?Z）；x?n??，n?Z．
8???提示：f?x??2sin?2x?????cos?．
4?2?10. 答案：（1）??；（2）提示：
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xy?xByAxAyB?xByAxy?xByA，再带入OP?OQ?xP?xQ?AB??AB22y?yy?yy?yAy2BABAByA22222B，xB?a?即可． xA?a?3311. 提示：
2222 （1）即证f?x?x0??f?x0??f'?x0?x?0，构造函数g?x??f?x?x0??f?x0??f'?x0?x，对g?x?求导证明g?x?在?0,???上单增即可．
（2）由条件知f'?x?是R上的单增函数，故f'?x?不可能恒等于零．
f?x?x0??f?x0?如果存在正实数??0，及实数x0，使f'?x0???，则对任意x?0， ??．
x?1?f?x0???1?f?x0??则当x?max?0,?f?x0??1，与条?时，f?x?x0???x?f?x0??????????件矛盾．
如果存在正实数??0，及实数x0，使f'?x0????，则对任意x?0，存在???x?x0,x0?，
?f?x?x0??f?x0??f?x0??1??满足?f'????f'?x0?．则当x?min?0,?时，
x?????f?x0??1f?x?x0????x?f?x0????????f?x0??1，与条件也矛盾． 总之，题目中的条件永远不成立．故由于前提条件是假命题，从而不论结论是什么，都是真命题． 12. 提示：
11?qn?12（1）化简?4qn?1，可得n?1??q?2?对任意正整数n成立，左边在n无穷大时
1?qq是无穷小，所以q?2．
?
（2）方法一：假设l是1，2，3，…，m中满足an?bn中的最大角标．则
mmlll?1l?1?a??bkk?1k?1k??a??bkk?1k?1k?al?bl??a??bkk?1k?1k?2??2k?2．
lk?1l?1方法二：假设l是1，2，3，…，m中满足an?bn中的最小角标，则?a??bkk?1k?1mmkl?1． ?al?1?bl?1??al?bl???2l?2l?2l??0（mod2）
（3）显然?an?的前m项和是正数，当且仅当am?0，此时ai（i?1，2，…，m?1）的符号随意．即?an?：?1，?2，?4，…，?2m?2，2m?1．这样的数列共有2m?1个，若ai与bi符号相反，则进行配对（i?1，2，…，m?1）．于是，Am中所有元素之和为2m?1?2m?1?22m?2．
说明：
（1）第11题中的条件永远是假命题，这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之． （2）第12题第2问中，取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零，取角标最小则考虑在适当的模下的差不能为零——这是常用的思路，应注意掌握．实际上，前者对应于Z的欧几里得赋值，后者对应于Z的p?adic赋值，这两个赋值数学本身的意义也很大．
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2014年卓越联盟自主招生数学试题及答案
