1.3.1 二项式定理
学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知识点 二项式定理及其相关概念
思考1 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式.
答案 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 思考2 上述两个等式的右侧有何特点？
答案 (a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.
思考3 你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
答案 (a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b).由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b
4013相乘即得展开式中的一项.若都选a，则得C04ab：若有一个选b，其余三个选a，则得C4ab；22204若有两个选b，其余两个选a，则得C4ab；若都选b，则得C44ab.
思考4 能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？
n1n1nkkn*答案 能，(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb (n∈N).
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二项式定理 二项式系数 通项 二项式定理 n1n1nkkn公式(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb，－－称为二项式定理 Ckn(k＝0,1，…，n) nkkTk＋1＝Ckb na－012kknn(1＋x)n＝Cn＋Cnx＋C2nx＋…＋Cnx＋…＋Cnx 的特例
类型一 二项式定理的正用、逆用 例1 (1)求(x＋2y)4的展开式.
n1n1n2nk
(2)化简：C0＋C2－…＋(－1)kCk＋…＋(－1)nCnn(x＋1)－Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)n.
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413222334443223解 (1)(x＋2y)4＝C04x＋C4x(2y)＋C4x(2y)＋C4x(2y)＋C4(2y)＝x＋8xy＋24xy＋32xy＋
16y4.
n1n－1n－2n－k(2)原式＝C0(－1)＋C2(－1)2＋…＋Ck(－1)k＋…＋Cnn(x＋1)＋Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)n
(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
反思与感悟 1.(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
2.逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢. 跟踪训练1 (1)求?3x＋?
1?4
的展开式； x?
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 1?4?3x＋解 (1)方法一 x??
?1?3＋C4·?1?4 413122?1?23
＝C0(3x)＋C(3x)·＋C(3x)·＋C(3x)·44444
?x??x??x?x121
＝81x2＋108x＋54＋＋2. xx1?4?3x＋1??3x＋方法二 ＝ x2x??1
＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x121
＝81x2＋108x＋54＋＋2. xx
5142332450
(2)原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)－1
4
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
类型二 求二项展开式的特定项
2
x－?n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： 例2 已知?x??(1)n的值；
(2)展开式中含x2的项. 解 (1)因为
T3＝C2n(
x)
n－2
?－2?2＝4C2xn?x?n?62,
2?n－1?－T2＝C1(x)n
?x?
??2Cx1nn?32,
1
依题意得4C2n＋2Cn＝162， 1所以2C2n＋Cn＝81，
所以n2＝81，n＝9. (2)设第k＋1项含x项，则9－3k所以＝3，k＝1，
2所以第二项为含x3的项：
33
T2＝－2C19x＝－18x.
3
Tk＋1＝Ck9(x)
9－k
?－2?k＝(?2)kCkx9?x?9?3k2,
反思与感悟 1.二项式系数都是组合数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.
72.第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ckn.例如，在(1＋2x)7－333的展开式中，第四项是T4＝C3(2x)3，其二项式系数是C7＝35，而第四项的系数是C37172
＝280.
1
2x－?6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； 跟踪训练2 (1)求二项式?x??1
x－?9的展开式中x3的系数. (2)求??x?解 (1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1 1?r6－r?－＝Cr(2x)·6
?x?
?(?1)C?2∴T6＝C56(2
rr66?r?x33?r2
9?1?5
?－x)?x?＝?12?x2.
∴第6项的二项式系数为C56＝6， 第6项的系数为C5(－1)·2＝－12. 6·(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则 1?r9－r?rr9－2r－Tr＋1＝Crx·＝(－1)·Cx， 99·?x?
∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84. 类型三 求展开式中的特定项
?33???n的展开式中，第6项为常数项. x－例3 已知在?3??x?
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 通项公式为：
Tr?1?Cxrnn?r3(?3)xr?r3?C(?3)xrnrn?2r3.
(1)∵第6项为常数项，
n－2r
∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
3n－2r1(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，
32
2
∴所求的系数为C210(－3)＝405.
10－2r
??3∈Z，
(3)由题意得，?≤r≤10，
??∈Z.3
则10－2r＝3k，即r＝5－k.
2∵r∈Z，∴k应为偶数.
10－2r令＝k(k∈Z)，
3
k＝2,0，－2即r＝2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2. 反思与感悟 1.求二项展开式的特定项的常见题型
－1n－k＋1bk－1； (1)求第k项，Tk＝Ckna
(2)求含xk的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项.
2.求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
a
x－?9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________. 跟踪训练3 (1)若??x??x－1?8
(2)?23?的展开式中的常数项是________.
x??
(1)1 (2)7
1?r9－rrr9－2r
解析 (1)展开式的通项为Tr＋1＝Cr(－a)r?＝C·(－a)x(0≤r≤9，r∈N).当9－2r＝39x9
?x?
3
时，解得r＝3，代入得x3的系数，根据题意得C9(－a)3＝－84，解得a＝1.
(2)展开式的通项为 Tr＋1＝Cr8
1
－?r?x?8－r?
3? ?2??x??
r18?rr8?r?1?(?1)()C8x3
2rr18?rr8?43?(?1)()C8x(0≤r≤8,r∈N).
2r
第一章 1.3.1 二项式定理
