3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
学 习 目 标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点) 核 心 素 养 1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学学科素养． 2. 通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学学科素养．
1．两条直线的交点坐标 几何元素及关系 点A 直线l 点A在直线l上 直线l1与l2的交点是A 2.两直线的位置关系 法一：代数法
唯一解l1，l2相交，????
直线l1，l2联立得方程组?无穷多解??l1，l2重合，
???无解?l1，l2平行．
(代数问题) (几何问题)
法二：几何法(前提条件：系数均不为零)
代数表示 A(a，b) l：Ax＋By＋C＝0 Aa＋Bb＋C＝0 ???A1x＋B1y＋C1＝0?x＝a方程组?的解是? ??Ax＋By＋C＝0y＝b222???
方?ABCAx＋By＋C＝0无穷多解?＝＝?l，lABC程 ?Ax＋By＋C＝0
重合，组
?无解?A＝B≠C?l，l平行．?ABC唯一解?≠?l1，l2相交，
1
12
12
1
2
A1B1A2B2
2
?????
111
222
12
12
12
12
3．两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝（x2－x1）＋（y2－y1）． (2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x＋y．
2222 - 1 -
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|． ③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|．
思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝（x1－x2）＋（y1－y2）的形式？
[提示] 可以，原因是（x2－x1）＋（y2－y1）＝（x1－x2）＋（y1－y2），也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2，2) B．(1，1) C．(1，2) D．(2，1)
??x＝1，C [由?得交点坐标为(1，2)，故选C.]
?y＝2?
2
2
2
2
2
2
2．已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为( ) A．5 B．5 C．3 D．29
B [由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝（3－2）＋（7－5）＝5.] 3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( ) A．23 C．6＋32
2
2
2
2
B．3＋23 D．6＋10
2
2
2
C [|AB|＝（2＋1）＋3＝32，|BC|＝（2＋1）＋0＝3，|AC|＝（2－2）＋3＝3，则△ABC的周长为6＋32.]
4．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________． 1或－5 [由两点间距离公式得（a＋2）＋（3＋1）＝5，解得a＝1或－5.]
2
2
两直线的交点问题
【例1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解] (1)方程组?
?2x－y－7＝0，?
??3x＋2y－7＝0
的解为?
?x＝3，?
??y＝－1.
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
??2x－6y＋4＝0，
(2)方程组?有无数个解，
?4x－12y＋8＝0?
- 2 -
这表明直线l1和l2重合．
??4x＋2y＋4＝0，
(3)方程组?无解，
?2x＋y－3＝0?
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
两条直线相交的判定方法 方法一 方法二 方法三
[跟进训练]
1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
??2x＋y＋3＝0，??x＝－1，
[解] (1)解方程组?得?
?x－2y－1＝0，??y＝－1，?
联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交 两直线斜率都存在且斜率不等 两直线的斜率一个存在，另一个不存在 所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).
??x＋y＋2＝0，①
(2)解方程组?①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1
?2x＋2y＋3＝0，②?
与l2无公共点，即l1∥l2.
两点间距离公式的应用
【例2】 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：∵|AB|＝（3＋3）＋（－3－1）＝213， |AC|＝（1＋3）＋（7－1）＝213， 又|BC|＝（1－3）＋（7＋3）＝226， ∴|AB|＋|AC|＝|BC|，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形．
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2
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2020_2021高中数学第3章3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间距离新人教A必修2
