满分示范课——解析几何
【典例】 (满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2→→
＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝2 NM.
(1)求点P的轨迹方程；
→→
(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
[规范解答](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
→→
则N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，1分 →→
2
由NP＝2 NM得x0＝x，y0＝y，3分
2因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，
22因此点P的轨迹方程为x＋y＝2.5分
(2)由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)， →→
则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)， →→
→
OQ·PF＝3＋3m－tn，7分
→
OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)， →→
22
由OP·PQ＝1，得－3m－m＋tn－n＝1，9分 又由(1)知m＋n＝2，故3＋3m－tn＝0. →→→→
所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，11分
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.12分
高考状元满分心得
1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m＋tn－n＝1就得分．
2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一
2
2
2
2
2
2
x2
2
x2y2
1
定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝
2
y，没有则不得分；第(2)问2
→→→→
一定要写出OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分．
→→
[解题程序] 第一步：设出点的坐标，表示向量NP，NM； →→
第二步：由NP＝2 NM，确定点P，N坐标等量关系； 第三步：求点P的轨迹方程x＋y＝2； 第四步：由条件确定点P，Q坐标间的关系； →→
第五步：由OQ·PF＝0，证明OQ⊥PF；
第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论． [跟踪训练]
2
2
x2y22??
已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A?1，?
ab2??
在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直→→
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线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM＝NQ？若存在，求出直线的方程；若
3不存在，说明理由．
解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1， 因为A?1，
??2?222
?在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝22，则a＝2，b＝a－c＝1. 2?
故椭圆C的方程为＋y＝1.
2
(2)不存在满足条件的直线，理由如下：
设直线的方程为y＝2x＋t，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
x2
2
P?x3，?，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，
3
??
5??
y＝2x＋t，??2
22
由?x消去x得9y－2ty＋t－8＝0， 2
＋y＝1，??2
2t22
所以y1＋y2＝，且Δ＝4t－36(t－8)＞0，
9
1
故yy20＝
y1＋＝t2
9
，且－3＜t＜3. →→
由PM＝NQ得???x51－x3，y1－3???＝(x1－x2，y4－y2)， 所以有y5525
1－3＝y4－y2，y4＝y1＋y2－3＝9t－3.
又－3＜t＜3，所以－7
3
＜y4＜－1，
与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．因此不存在满足条件的直线．
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2019高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何满分示范练 文
