论述高中数学三角函数公式的运用
曹梦炘
【摘 要】在高中数学教学中，三角函数作为高中基础内容的一部分，是高考数学中非常常见的题型。这一部分内容属于高中课本中的初等函数，三角函数不仅是高中阶段学习的重点，也是同学们进入大学后需要学习的一部分内容。同学们要在学习的过程中提高数学思维并掌握灵活的解题方法，提高数学的学习能力。本文对高中课本中三角函数知识进行了简单的介绍，并举了典型例题，对例题进行分析与解答。 【期刊名称】考试周刊 【年(卷),期】2017(000)013 【总页数】3
【关键词】高中数学；三角函数；公式运用
人类文明的发展经过了几千年，从刀耕火种的年代到现在信息传播速度爆炸的时代，数学在其中扮演了一个非常重要的角色，数学是人类文明成长的产物，能够反映出大自然的发展规律，代表了社会文明的程度。人们对数学的研究与探索的脚步从未停下过。数学的重要性每个人都知道，对于一个普通的高中生来说则更加的重要，数学是高考中非常重要的一门科目，数学中三角函数的学习则是重中之重。三角函数能够应用到各个学科，我国的高中数学课本在2003年将三角函数定为初等函数，更加确定了三角函数在高中学习中的重要性。
一、 三角函数的学习研究现状与概念
在我国三角函数的学习和研究方向繁多，研究人员不仅从三角函数的数学方面进行研究，更有部分人从教育学、心理学等方面进行研究，本文则重点对同学
们在解三角函数类型题目时所遇到的困难和常见的错误进行分析和解答。 三角函数是以角度(弧度)为函数的自变量，任意角为因变量。在数学学习中，三角函数被定义成无穷级数或特定微分方程的解。同学们在高中学习中的三角函数包括正弦、余弦和正切函数。
二、 三角函数的重要性
三角函数是高中函数中很重要的一部分，它具有独一无二的数学性质，几何是三角函数的发展来源，是代数和几何中不可或缺的一部分。我们高中生学习阶段最后学习的就是三角函数，三角函数可以用来描述生活中的各种现象，解决生活问题，服务人们的生活。在我们高中的学习中，学习三角函数能够培养逻辑思维能力和解决问题能力。
三、 学生对三角函数的理解与态度
(一) 学生对三角函数的理解
三角函数相对于其他的初等函数来说具有一定的难度，老师在讲解三角函数时有不同的教学方法，有的老师会将单位圆加入其中，与任意三角形的三角比定义进行结合，三角函数的讲解更加透彻有深度。有的老师则删去单位圆的讲解，使三角函数的讲解更加简单，让学生更加容易理解。通过调查，总结了几项同学们对三角函数学习的观点。
1. 理解难度大，在函数的基础上增加了三角形定理，让学生更加难以理解； 2. 与初中学习的三角概念相冲突，在函数理解时，容易混淆；
3. 在学习的过程中由于三角函数属于任意角度的函数问题，相当一部分题目超过了圆360o的全角角度，概念抽象模糊，无法与实际生活相结合。 (二) 同学们对三角函数的态度
1. 同学们在进行三角函数的学习时态度不够重视，学习不够认真。在刚接触到三角函数时，简单地认为只要将问题代入公式就能够解决问题，不用心学习，不认真了解，在学习一定时间后造成了对三角函数概念的模糊，不能够熟练掌握。
2. 对学习内容没有做到课前预习，课后复习。上课学习过程中，由于三角函数涉及逻辑思维能力，需要在学习的过程中不断地思考，没有进行合理预习的情况下，同学们很难完全理解老师所教的内容，从而不能跟上老师的课堂节奏，若课后不能够有效地复习，则三角函数的学习将更加困难。
四、 高中生学习过程中常犯的错误
(一) 在进行角度和弧度表示时，使用不够准确，对弧度的使用不能完全理解； (二) 诱导公式的使用发生错误；
(三) 三角函数中值域和定义域理解性问题，例如正弦函数y=sinx的定义域问题，有的学生会认定这个函数的定义域是[0，2π]，而不知道错误所在； (四) 对三角函数的单调性理解不够，容易造成错误； (五) 不能正确地对三角函数图象进行分析。
五、 三角函数学习的基本内容
三角函数属于初等函数，包括：同角三角函数基本关系式；三角变换公式(三角变换公式包括诱导公式、和差公式、二倍角公式)；三角函数的图象与性质(分为图象和性质)；解斜三角形(解斜三角形包括正弦定理和余弦定理)，以上是高中生学习三角函数时所要涉及的各个内容，除了基础知识概念的学习，运用三角函数进行实际解题是每一个同学必须掌握的。三角函数属于内容较多，较为复杂的函数，但是只要认真学习，善于思考，掌握每个公式之间的关系，就能
够很好地掌握三角函数的计算规律。 (一) 三角函数定义式与函数关系
一个直角三角形中角A的对边为a，邻边为b，斜边为c，这个三角形的正弦、余弦、正切、余切锐角三角形函数为
坐标系中任意三角形的角度为θ，坐标为(x，y)，则这个角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数为
三角函数的函数关系包括：倒数关系tanAcotA=1；sinAcosA=1。商数关系； (二) 诱导公式与基本计算公式 三角函数的诱导公式如下表所示： 三角函数的基本公式有： 和差角公式
(1) sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，(2) cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ 二倍角公式：
(3)cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ= 积化和差公式: 和差化积公式: (3)
六、 三角函数例题解析
例题1 已知求sin3θ-cos3θ。
分析：由于sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ) =(sinθ-cosθ)[(sinθ-cosθ)2+3sinθcosθ]
其中，sinθ-cosθ已知，只要求出sinθcosθ即可，此题是典型的知sinθ-cosθ，求sinθcosθ的题型。
解：因为 (sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ 所以
sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)[(sinθ-cosθ)2+3sinθcosθ] 例题2 已知：tanα+ctanα=2，求sin4α+cos4α。
分析：由上面例子已知，只要sin4α+cos4α能化出含sinα±cosα或sinαcosα的式子，则即可根据已知tanα+ctanα进行计算。由于此题只要将sin4α+cos4α化成含sinαcosα的式子即可。
解：sin4α+cos4α=sin4α+cos4α+2 sin2αcos2α-2 sin2αcos2α
通过以上例子，可以得出以下结论：由于sinα±cosα，sinαcosα及tanα+ctanα三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sinαcosα，求含sinα±cosα的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα，要进行开方运算才能求出sinα±cosα. 例题3 复数z1，z2，z3的辐角分别为且z1+z2+z3=0，问k为何值时，cos(β-γ)分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。
解：因为z1=cosα+isinα，z2=k(cosβ+isinβ)，z3=(2-k)(cosγ+isinγ)， 因为z1+z2+z3=0，所以[cosα+kcosβ+(2-k)cosγ]+i[sinα+ksinβ+(2-k)sinγ]=0。因而cosα=-kcosβ-(2-k)cosγ，sinα=-ksinβ-(2-k)sinγ。两式平方相加得1=k2+(k-2)2+2k(k-2)cos(β-γ) 由题设知k≠0，k≠2，所以＊)因为所以解之得由(＊)知，当k=1时
论述高中数学三角函数公式的运用
