n当x?0时，1?cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，求常数a,n．
16．（本题满分10分） 设D是由曲线y?3x，直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成
的立体的体积，若10Vx?Vy，求a的值． 17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线x?3y,y?3x,x?y?8所围成，求18．（本题满分10分）
设奇函数f(x)在??1,1?上具有二阶导数，且f(1)?1，证明： （1）存在??(0,1)，使得f'????1；
（2）存在??(?1,1)，使得f??(?)?f?(?)?1． 19．（本题满分10分）
求曲线x?xy?y?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分11） 设函数f(x)?lnx?332x??dxdy． D1 x⑴求f(x)的最小值； ⑵设数列?xn?满足lnxn?21．（本题满分11） 设曲线L的方程为（1）求L的弧长．
（2）设D是由曲线L，直线x?1,x?e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标． 22．本题满分11分） 设A???1xn?1?1，证明极限limxn存在，并求此极限．
n??y?121x?lnx(1?x?e)． 42?1a??01????，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得AC?CA?B，并求出所有矩阵C． ,B?????10??1b?23（本题满分11分）
?a1??b1?????22??a,??设二次型f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)?(b1x1?b2x2?b3x3)．记?2??b2?．
?a??b??3??3?TT（1）证明二次型f对应的矩阵为 2?????；
22（2）若?,?正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2y1?y2．
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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x2?x(1)曲线y?2的渐近线条数 ( )
x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)(enx?n)，其中n为正整数,则f?(0)? ( )
(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn! (3) 设an?0(n?1,2,3),Sn?a1?a2?a3??an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
(4) 设Ik??exsinxdx,(k?1,2,3),则有
0k?2 ( )
(A) I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D) I2?I1?I3 (5) 设函数f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y都有
?(x,y)?(x,y)?0,?0,则使不等式f(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个?x?y充分条件是
( )
(A) x1?x2,y1?y2 (B) x1?x2,y1?y2 (C) x1?x2,y1?y2 (D) x1?x2,y1?y2 (6) 设区域D由曲线y?sinx,x???2,y?1围成，则??(x5y?1)dxdy?
D ( )
(A) ? (B) 2 (C) -2 (D) -?
?1???1??0??0????????? (7) 设α1??0?,α2??1? ,α3???1? ,α4??1? ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为
?c??c??c??c??3??4??1??2?( )
(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4
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?100???(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P?1AP??010?.若P??α1,α2,α3?，Q??α1?α2,α2,α3?则Q?1AQ?
?002???( )
?100?
??
(A) ?020? (B)
?001????100?
??010?? (C) ?002????200??200????? (D)010020????
?002??001?????
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
d2y(9) 设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数，则2dx2yx?0? .
(10)limn??2?22n???1?n2?n (11) 设z?f?lnx??11?1? ?22?n?n? .
???z1?2?zx?y? . ,?其中函数f?u?可微，则
?x?yy?2(12) 微分方程ydx?x?3ydy?0满足条件y??x?1?1的解为y? .
(13) 曲线y?x?x?x?0?上曲率为
22的点的坐标是 . 2*(14) 设A为3阶矩阵，A=3，A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则BA*? .
三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．．(15)(本题满分 10 分)
已知函数f?x??(I)求a的值;
(II)若x?0时，f?x??a与x是同阶无穷小，求常数k的值.
k1?x1?，记a?limf?x?，
x?0sinxx(16)(本题满分 10 分)
求函数f?x,y??xe?x2?y22的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线L:y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
??xyd?，其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.
D(19)(本题满分10分)
已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex,
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(I) 求f(x)的表达式;
(II) 求曲线y?f(x2)?f(?t2)dt的拐点.
0x(20)(本题满分10分)
1?xx2?cosx?1? 证明xln,(?1?x?1). 1?x2(21)(本题满分10 分)
(I)证明方程xn+xn-1??1??x?1?n?1的整数?，在区间?,1?内有且仅有一个实根；
?2?n??(II)记(I)中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)
?1?0设A???0??aa1000a100??1????0??1，????
?0?a????1??0?(I) 计算行列式A；
(II) 当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)
?101???011?，二次型f?x1,x2,x3??xT?ATA?x的秩为2， 已知A????10a???0a?1??(I) 求实数a的值；
(II) 求正交变换x?Qy将f化为标准形.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
(A) 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将
所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．
（1）已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则（ ）
（A）k?1,c?4 （B）k?1,c??4 （C）k?3,c?4 （D）k?3,c??4
kx2f(x)?2f(x3)?（ ） （2）设函数f(x)在x?0处可导，且f(0)?0，则lim3x?0x（A）?2f?(0) （B）?f?(0) （C）f?(0) （D）0
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（3）函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）微分方程y????2y?e?x?e??x(??0)的特解形式为（ ）
（A）a(e?x?e??x) （B）ax(e?x?e??x) （C）x(ae?x?be??x) （D）x2(ae?x?be??x)
（5）设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)?0，g(0)?0，f?(0)?g?(0)?0则函数z?f(x)g(y)在
点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A）f??(0)?0，g??(0)?0 （B）f??(0)?0，g??(0)?0 （C）f??(0)?0，g??(0)?0 （D）f??(0)?0，g??(0)?0
??0?0（6）设I??40lnsinxdx，J??4lncotxdx，K??4lncosxdx，则I，J，K的大小关系为（ ）
（A）I?J?K （B）I?K?J （C）J?I?K （D）K?J?I
?100???（7）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵。记P1??110?，
?001????100???P2??001?，则A=（ ）
?010??? （A）P1P2 （B）P2P1 （D）P1P2 （C）P2P1
*A*为A的伴随矩阵。（8）设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，若(1 则Ax?0,0,1,0)T是方程组Ax?0的一个基础解系，
?1?1的基础解系可为（ ）
（A）?1,?3 （B）?1,?2 （C）?1,?2,?3 （D）?2,?3,?4 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。 ．．．（9）lim???1?2x?0?2x???? 。 ?'?x1x（10）微分方程y?y?e（11）曲线y?cosx满足条件y(0)?0的解为y? 。
?x0tantdt (0?x??4)的弧长s? 。
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2000-2017考研数学二历年真题word版
