（D）a?1与a??2
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
x3?arctan(1?x2)的斜渐近线方程为____________. （9）曲线y?21?x
（10）极限lim
（11）以y?x2?ex和y?x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.
（12）已知函数f(x)在(??,??)上连续，且f(x)?(x?1)?22112(sin?2sin?n??n2nnn?nsin)?____________.
n?x0f(t)dt，则当n?2时，f(n)(0)?____________.
（13）已知动点P在曲线y?x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数v0，则
当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是_______.
?a?1?1??110?????（14）设矩阵?1a?1与0?11等价，则a?_________. ???????1?1a????101??解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分） （16）（本题满分10分）
设函数f(x)??10t2?x2dt(x?0)，求f'(x)并求f(x)的最小值.
（17）（本题满分10分）
已知函数z?z(x,y)由方程(x?y)z?lnz?2(x?y?1)?0确定，求z?z(x,y) 的极值. （18）（本题满分10分）
22x2?xy?y2设D是由直线y?1，y?x，y??x围成的有界区域，计算二重积分??dxdy. 22x?yD
（19）（本题满分10分）
已知y1(x)?ex，y2(x)?u(x)ex是二阶微分方程(2x?1)y?(2x?1)y'?2y?0的解，若u(?1)?e，u(0)??1，求
nu(x)，并写出该微分方程的通解。
（20）（本题满分11分）
3????x?cost?0?t?设D是由曲线y?1?x(0?x?1)与?求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体?围成的平面区域，3?2???y?sint?2积和表面积。
- 6 -
（21）（本题满分11分）
3?3?cosx]上连续，在(0,)内是函数的一个原函数f(0)?0。 222x?3?3?]上的平均值； （Ⅰ）求f(x)在区间[0,23?)内存在唯一零点。 （Ⅱ）证明f(x)在区间(0,2已知f(x)在[0,
（22）（本题满分11分）
11?a??1?0?????0a?，???1设矩阵A??1?，且方程组Ax??无解。
?a?11a?1??2a?2?????（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求方程组AAx?A
（23）（本题满分11分）
TT?的通解。
?0?11???已知矩阵A??2?30?
?000???（Ⅰ）求A
99（Ⅱ）设3阶矩阵B?(?1,?2,?3)满足B?BA。记B100?(?1,?2,?3)，将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组
合。
22015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)下列反常积分中收敛的是（）
??（A）
?21dx （B）x2???2lnxdx (C)x???21dx (D)xlnx???2xdx xesintxt)在(??,??)内（） (2)函数f(x)?lim(1?t?0x（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
1??xcos,x?0??(??0,??0)，若f(x)在x?0处连续，则（） (3)设函数f(x)??x?0,x?0?
- 7 -
（A）????1 (B)0?????1 (C)????2 (D)0?????2
(4) 设函数f(x)在(??,??)连续，其二阶导函数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)的拐点个数为（） （A）0 (B)1 (C)2 (D)3
22(5).设函数f(u，v)满足f(x?y,)?x?y，则
yx?f?f与依次是（） ?uu?1?vu?1v?1v?1（A）
1111,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,- 2222(6). 设D是第一象限中曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则
??f(x,y)dxdy=（）
D?2?d???（A）
41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr?（B）
??d??241sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr
?（C）
??34d??1sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)dr（D）??3d??4f(rcos?,rsin?)dr
?111??1?????(7)．设矩阵A=?12a?，b=?d?,若集合Ω=?1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷多个解的充分必要条件为（）
?14a2??d2?????（A）a??,d?? (B)a??,d?? (C)a??,d?? (D) a??,d??
222(8)设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3,其中P=(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)，则
f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为（ ）
222222222222(A):2y1 (B) 2y1 (C) 2y1 (D) 2y1 ?y2?y3?y2?y3?y2?y3?y2?y3
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
?x?arctantd2y(9) 设?,则2? 3dxt?1y?3t?t?（10）函数f(x)?x2在x?0处的n 阶导数f（11）设函数f(x)连续，?(x)?2x(n)(0)?
?x20xf(t)dt,若?(1)?1，?'(1)?5，则f(1)?
'（12）设函数y?y(x)是微分方程y?y?2y?0的解，且在x?0处y(x)取值3，则y(x)= （13）若函数z?z(x,y)由方程e
x?2y?3z''?xyz?1确定，则dz(0,0)=
- 8 -
（14）设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，B?A?A?E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式B=
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．．15、（本题满分10分）
设函数f(x)?x??ln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx2，若f(x)与g(x)在x?0是等价无穷小，求a,b,k的值。 16、（本题满分10分）
设A?0，D是由曲线段y?Asinx(0?x?2?2)及直线y?o,x??所形成的平面区域， V1，V2分别表示D绕X轴2与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若V1?V2，求A的值。 17、（本题满分10分）
??(x,y)?2(y?1)ex，fx?(x,0)?(x?1)ex，f(0,y)??2y,求f(x,y)的极值。 已知函数f(x,y)满足fxy 18、（本题满分10分） 计算二重积分
222D?(x,y)x?y?2,y?x，其中。 x(x?y)dxdy????D
19、（本题满分10分） 已知函数f(x)??1x1?tdt??2x211?tdt，求f(x)零点的个数。
20、（本题满分11分）
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C的物体在20C恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30C，若要使物体的温度继续降至21C，还需冷却多长时间？ 21、（本题满分11分）
已知函数f(x)在区间?a,???上具有2阶导数，f(a)?0,f?(x)?0,设b?a,曲线y?f(x)在点(b,f(b))处的切线与X轴的交点是(x0,0)，证明：a?x0?b。 22、（本题满分11分）
0
0
0
0
?a10???322设矩阵A??1a?1?,且A?0，（1）求a的值；（2）若矩阵X满足X?XA?AX?AXA?Z,其中Z为3阶单
??01a??位矩阵，求X。
- 9 -
23、（本题满分11分）
?02?3??1?20?????设矩阵A???13?3?，相似于矩阵B??0b0?，
?1?2a??031?????（1）求a,b的值（2）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵。
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2000-2017考研数学二历年真题word版
