?（5）设I1??40tanxxdx,I2??4dx, 则
0tanxx? (A) I1?I2?1. (B) 1?I1?I2.
(C) I2?I1?1. (D) 1?I2?I1. [ ] （6）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关.
(C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关. [ ]
??ln(1?ax3),x?0,?x?arcsinx?6,x?0, 三 、（本题满分10分）设函数 f(x)???eax?x2?ax?1x?0,,?x?xsin4?问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？
四 、（本题满分9分）
?x?1?2t2,d2y?u1?2lnte(t?1)所确定，求2 设函数y=y(x)由参数方程?y?dudx?1u??
五 、（本题满分9分）计算不定积分
六 、（本题满分12分）
x?9.
?xearctanx(1?x)232dx.
设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.
d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微分方程； 2dydy(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?
七 、（本题满分12分）
4讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?lnx的交点个数.
3的解. 2
八 、（本题满分12分）
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设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(平分.
(B) 求曲线 y=f(x)的方程；
21,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴22(C) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.
九 、（本题满分10分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.
(2) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式； (3) 求曲线x??(y)的方程.
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)
十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f?(x)?0. 若极限lim?x?a32f(2x?a)x?a存在，证明：
(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点?，使
b2?a2?b?af(x)dx22?； f(?)2(3) 在(a,b) 内存在与(2)中?相异的点?，使f?(?)(b?a)?
十 一、（本题满分10分）
2?bf(x)dx. ?a??a?220????1若矩阵A?82a相似于对角阵?，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使PAP??.
????006??
十二 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1: ax?2by?3c?0， l2: bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
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2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学(二)试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)
1?e??arcsin2xf(x)??2x??aetanx1．设函数
x?0在x?0处连续，则a?（ ）． x?02．位于曲线y?xe?x（0?x???）下方，x轴上方的无界图形的面积为（ ）．
3．yy???y?2?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?1的特解是（ ）． 24．lim[1?cos1n??n?n?1?cos2??n?1?cosn?． ]=（ ）
n?0?2?2???2?2?的非零特征值是（ ）5．矩阵?2．
??2?22???二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)
2１．函数f(u)可导，y?f(x)当自变量x在x??1处取得增量?x??0.1时，相应的函数增量?y的线性主部为
０．１，则f?(1)＝
（Ａ）－１； （Ｂ）０．１； （Ｃ）１； （Ｄ）０．５．
２．函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)
?x0f(t2)dt； (B)
x?x0f2(t)dt；
x0 (C)
?t[f(t)?f(?t)]dt； (D) ?t[f(t)?f(?t)]dt．
03x３．设y?f(x)是二阶常系数微分方程y???py??qy?e满足初始条件y(0)?y?(0)?0的
ln(1?x2) 特解，则极限lim
x?0y(x) (A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数f(x)在R上有界且可导，则
(A)当limf(x)?0时，必有limf?(x)?0；
x???x???? （Ｂ）当limf?(x)存在时，必有limf?(x)?0；
x???x??? - 48 -
(C) 当limf(x)?0时，必有limf?(x)?0；
x?0?x?0? (D) 当limf?(x)存在时，必有limf?(x)?0．
x?0?x?0?5．设向量组?1,?2,?3线性无关，向量?1可由?1,?2,?3线性表示，而向量?2不能由?1,?2,?3线性表示，则对于任意常数k必有
（Ａ）?1,?2,?3,k?1??2线性无关；(B) （Ｃ）?1,?2,?3,?1?k?2线性无关； (D)
?1,?2,?3,k?1??2线性相关；
?1,?2,?3,?1?k?2线性相关．
四、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为r?1?cos?，求该曲线对应于???处的切线与法线的直角坐标方程． 6
32?2x??2x五、（本题满分７分）设函数y?f(x)??xex??(ex?1)2?1?x?0x，求函数F(x)??f(t)dt的表达式．
0?x?1?1
?五、（本题满分７分）已知函数f(x)在R上可导，f(x)?0，limf(x)?1，且满足
x???lim(h?01f(x?hx)1)h?ex，求f(x)．
f(x)
六、（本题满分７分）求微分方程xdy?(x?2y)dx?0的一个解y?y(x)，使得由曲线y?y(x)与直线x?1,x?2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小．
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七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高h应为多少？ 八、（本题满分８分）
设0?xn?3，xn?1?． xn(3?xn)（n＝１，２，３，…）
证明：数列｛xn｝的极限存在，并求此极限．
十五、（本题满分８分）设b?a?0，证明不等式
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2alnb?lna1??． 22b?aa?bab
2000-2017考研数学二历年真题word版
