2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的． （1）【2014年广东，文1，5分】已知集合M??2,3,4?，N??0,2,3,5?，则M?N?（ ）
（A）?0,2? （B）?2,3? （C）?3,4? （D）?3,5? 【答案】B
【解析】M?N??2,3?，故选B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． （2）【2014年广东，文2，5分】已知复数z满足(3?4i)z?25，则z?（ ）
（A）?3?4i （B）?3?4i （C）3?4i （D）3?4i 【答案】D
2525(3?4i)25(3?4i)=??3?4i，故选D． 【解析】z?3?4i(3?4i)(3?4i)25【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
????（3）【2014年广东，文3，5分】已知向量a?(1,2)，b?(3,1)，则b?a?（ ）
（A）(?2,1) （B）(2,?1) （C）(2,0) （D）(4,3) 【答案】B
??【解析】b?a??2,?1?，故选B．
【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．
?x?2y?8?（4）【2014年广东，文4，5分】若变量x,y满足约束条件?0?x?4，则z?2x?y的最大值等于（ ）
?0?y?3? （A）7 （B）8 （C）10 （D）11 【答案】C
?2x?z，【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z?2x?y，得y?平移直线y??2x?z，
由图象可知当直线y??2x?z经过点B?4,2?时，直线y??2x?z的截距最大，此时z最
大，此时z??2?4?2?10，故选C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． （5）【2014年广东，文5，5分】下列函数为奇函数的是（ ）
1 （A）2x?x （B）x3sinx （C）2cosx?1 （D）x2?2x
2【答案】A
111【解析】对于函数f?x??2x?x，f??x??2?x??x?x?2x??f?x?，故此函数为奇函数；对于函数
2223f?x??x3sinx，f??x????x?sin??x??x3sinx?f?x?，故此函数为偶函数；对于函数f?x??2cosx?1，
f??x??2cos??x??1?2cosx?1?f?x?，故此函数为偶函数；对于函数f?x??x2?2x，
f??x????x??2?x?x2?2?x??f?x?，同时f??x???f?x?故此函数为非奇非偶函数，故选A．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．
（6）【2014年广东，文6，5分】为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的
样本，则分段的间隔为（ ）
（A）50 （B）40 （C）25 （D）20 【答案】C
【解析】∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25，故选C． 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．
1
2（7）【2014年广东，文7，5分】在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，则“a?b”是“sinA?sinB”
的（ ）
（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）非充分非必要条件 【答案】A
ab【解析】由正弦定理可知，∵?ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，∴a，b，sinA，?sinAsinBsinB都是正数，a?b?sinA?sinB．∴“a?b”是“sinA?sinB”的充分必要条件，故选A．
【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．
x2y2x2y2（8）【2014年广东，文8，5分】若实数k满足0?k?5，则曲线??1与曲线??1的（ ）
16?k5165?k（A）实半轴长相等 （B）虚半轴长相等 （C）离心率相等 （D）焦距相等 【答案】D
x2y2【解析】当0?k?5，则0?5?k?5，11?16?k?16，即曲线??1表示焦点在x轴上的双曲线，其中
165?kx2y2222b?5?k，b2?5，a?16，c?21?k，曲线其中a2?16?k，??1表示焦点在x轴上的双曲线，
16?k5c2?21?k，即两个双曲线的焦距相等，故选D．
【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键． （9）【2014年广东，文9，5分】若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足l1?l2,l2//l3,l3?l4，则下列结论
一定正确的是（ ）
（A）l1?l4 （B）l1//l4 （C）l1与l4既不垂直也不平行 （D）l1与l4的位置关系不确定 【答案】D
【解析】在正方体中，若AB所在的直线为l2，CD所在的直线为l3，AE所在的直线为l1， 若GD所在的直线为l4，此时l1//l4，若BD所在的直线为l4，此时l1?l4，故l1与l4的位 置关系不确定，故选D．
【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．
（10）【2014年广东，文10，5分】对任意复数?1,?2，定义?1*?2??1?2，其中?2是?2的共轭
复数，对任意复数z1,z2,z3，有如下四个命题： ①(z1?z2)*z3?(z1*z3)+(z2*z3)③(z1?z2)*z3?z1*(z2*z3)
②z1*(z2?z3)?(z1*z2)+(z1*z3)； ④z1?z2?z2?z1；
则真命题的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】B
【解析】①(z1?z2)*z3=(z1?z2)z3=(z1z3)?(z2z3)=(z1*z3)+(z2*z3)，正确；
②z1*(z2?z3)?z1(z2?z3)?z1(z2?z3)?(z1z2)?(z1z3)?(z1*z2)+(z1*z3)，正确；
③左边=(z1*z2)z3=z1z2z3,右边?z1*(z2z3)?z1(z2z3)?z1(z2z3),左边?右边，等式不成立，故错误；
④左边=z1*z2?z1z2,右边=z2*z1?z2z1,左边?右边，等式不成立，故错误； 综上所述，真命题的个数是2个，故选B．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题． 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13） （11）【2014年广东，文11，5分】曲线y??5ex?3在点?0,?2?处的切线方程为 ． 【答案】5x?y?2?0 【解析】y'??5ex，?y'x?0
??5，因此所求的切线方程为：y?2??5x，即5x?y?2?0．
【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题． （12）【2014年广东，文12，5分】从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为 ．
2
【答案】
2 51C442【解析】P?2??．
C5105【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概
型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
（13）【2014年广东，文13，5分】等比数列?an?的各项均为正数，且a1a5?4， 则log2a1?log2a2?log2a3?log2a4?log2a5? ． 【答案】5
【解析】设S?log2a1?log2a2?log2a3?log2a4?log2a5，则S?log2a5?log2a4?log2a3?log2a2?log2a1，
?2S?5log2(a1a5)?5log24?10，?S?5．
【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） （14）【2014年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为
2?cos2??sin?与?cos?=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐
标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为 ． 【答案】(1,2)
2【解析】由2?cos2??sin?得（故C1的直角坐标系方程为：y?2x2，C2的直角坐标系方程为：2?cos?）=?sin?，
x?1，?C1,C2交点的直角坐标为(1,2)．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题． （15）【2014年广东，文15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且EB?2AE，
?CDF的周长AC与DE交于点F，则? ．
?AEF的周长【答案】3
?CDF的周长CDEB?AE???3． 【解析】由于?CDF∽?AEF，??AEF的周长AEAE【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
????5??32（16）【2014年广东，文16，12分】已知函数f?x??Asin?x??,x?R，且f???．
3?122???（1）求A的值；
??????（2）若f(?)?f(??)?3,???0,?，求f????．
?2??6?解：（1）f(5?5??3?3232)?Asin(?)?Asin??2?3． ，?A?12123422 （2）由（1）得：f(x)?3sin(x?)，?f(?)?f(??)?3sin(??)?3sin(???)
333?cos?sin)?3(sin(??)cos?cos(??)sin)?6sin?cos?3sin??3，
3333363????sin?????0,?，?cos??1?sin2??，
33?2?????6?f(??)?3sin(???)?3sin(??)?3cos??3??6．
66323【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查． （17）【2014年广东，文17，12分】某车间20名工人年龄数据如下表：
（1）求这20名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
?3(sin?cos????????3
（3）求这20名工人年龄的方差． 解：（1）这这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21．
年龄（岁） 工人数（人） （2）茎叶图如下：
19 1
28 3 1 9
29 3
2 8 8 8 9 9 9 30 5
31 4 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2
32 3
40 1 4 0
20 合计
(19?28?3?29?3?30?5?31?4?32?3?40)（3）年龄的平均数为：?30，
20这20名工人年龄的方差为： 1112222222??(?11)?3?(?2)?3?(?1)?5?0?4?1?3?2?10?(121?12?3?4?12?100)??252?12.6?2020?20【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题． （18）【2014年广东，文18，14分】如图1，四边形ABCD为矩形，PD?平面ABCD，
AB?1,BC?PC?2，做如图2折叠：折痕EF//DC，其中点E,F分别在线段PD,PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF?CF． （1）证明：CF?平面MDF； （2）求三棱锥M?CDE的体积． 解：（1）PD?平面ABCD，PD?PCD，?平面PCD?平面ABCD，平面PCD?平面
ABCD?CD，MD?平面ABCD，MD?CD，?MD?平面PCD，CF?平面PCD，?CF?MD，又 CF?MF，MD，MF?平面MDF，MD?MF?M，?CF?平面MDF．
11（2）?CF?平面MDF，?CF?DF，又易知?PCD?600，??CDF?300，从而CF=CD=，
221DE233133DECF?EF∥DC，?=，?DE?，即，?PE?，S?CDE?CD?DE?， ?42842DPCP31136233236??，?VM?CDE?S?CDE?MD??． )?()2?338216442【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直
的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．
（19）【2014年广东，文19，14分】设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，且Sn满足
MD?ME2?DE2?PE2?DE2?(2Sn?(n2?n?3)Sn?3(n2?n)?0,n?N?．
（1）求a1的值；
（2）求数列?an?的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有
1111?????．
a1?a1?1?a2?a2?1?an?an?1?3?(S1?3)(S1?2)?0，?S1?0，?S1?2，解：（1）令n?1得：S12?(?1)S1?3?2?0，即S12?S1?6?0，即a1?2．
22（2）由Sn?(n2?n?3)Sn?3(n2?n)?0，得：(Sn?3)??Sn?(n?n)???0，
?an?0(n?N?)，?Sn?0，从而Sn?3?0，?Sn?n2?n，
?2?a?2?2?1，又，?a?2n(n?N)． ?当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2?n??(n?1)?(n?1)?2n1n??（3）当k?N?时，k2?kk313?k2???(k?)(k?)， 2216444
?11111111???????1?1?ak(ak?1)2k(2k?1)4k(k?1)4(k?1)(k?3)4(k?)??(k?1)??2444?4????1?11?????4?k?1(k?1)?1??44?
???1111?111111???????(?)?(?)????1111?a1(a1?1)a2(a2?1)an(an?1)4?1?12?12?3?n?(n?1)???444444?111111?(?)???． 41?1(n?1)?134n?3344【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维
难度，属于难题．
5x2y2（20）【2014年广东，文20，14分】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点为(5,0)，离心率为．
3ab（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
c55x2y2222?解：（1）c?5，e??，?a?3，b?a?c?9?5?4，?椭圆C的标准方程为：??1．
aa394（2）若一切线垂直x轴，则另一切线垂直于y轴，则这样的点P共4个，它们坐标分别为(?3,?2)，(3,?2)．
若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为y?y0?k(x?x0)，即y?k(x?x0)?y0，将之代入椭圆方程
x2y2??1中并整理得：(9k2?4)x2?18k(y0?kx0)x?9?(y0?kx0)2?4????0，依题意，??0， 942222即(18k)2(y0?kx0)2?36??(y0?kx0)?4??(9k?4)?0，即4(y0?kx0)?4(9k?4)?0，
y02?4??1，?x02?y02?13， ?(x0?9)k?2x0y0k?y0?4?0，?两切线相互垂直，?k1k2??1，即2x0?9222显然(?3,?2)，(3,?2)这四点也满足以上方程，?点P的轨迹方程为x2?y2?13．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．
1（21）【2014年广东，文21，14分】已知函数f(x)?x3?x2?ax?1(a?R)．
3（1）求函数f(x)的单调区间；
111（2）当a?0时，试讨论是否存在x0?(0,)?(,1)，使得f(x0)=f()．
2222'2解：（1）f(x)?x?2x?a，方程x?2x?a?0的判别式：??4?4a，?当a?1时，??0，?f'(x)?0，此时
f(x)在(??,??)上为增函数．当a?1时，方程x2?2x?a?0的两根为?1?1?a，当
x?(??,?1?1?a)时，f'(x)?0，?此时f(x)为增函数，当x?(?1?1?a,?1?1?a)，f'(x)?0，此时f(x)为减函数，当x?(?1?1?a,??)时，f'(x)?0，此时f(x)为增函数，综上，a?1时，f(x) 在(??,??)上为增函数，当a?1时，f(x)的单调增函数区间为(??,?1?1?a)，(?1?1?a,??)，
f(x)的单调递减区间为(?1?1?a,?1?1?a)．
11111??1?1?11?1?（2）f(x0)?f()?x03?x02?ax0?1??()3?()2?a()?1???x03?()3???x02?()2??a(x0?)
23222??2?2?32?3?x01?1?11111x02x0112??(x0?)(x0??)??(x0?)(x0?)?a(x0?)?(x0?)(???x0??a) 3?224?22223612211111?(x0?)(4x02?14x0?7?12a)?若存在x0?(0,)?(,1)，使得f(x0)?f()， 1222225
2014年高考广东文科数学试题及答案(word解析版)
