2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（8）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上
1. 已知20122?2010?2011?2013?2014?k2?k?0?，则k? . 答案： 20122?2（或4048142）
解: n2?(n?2)(n?1)(n?1)(n?2)?n2?(n2?4)(n2?1)
?n2?(n4?5n2?4)?(n2?2)2.
2. 函数f(x)?sin(x?)?sin(x?)?cosx?3的最小值等于 .
66答案：1 解：因为
f(x)?sinxcos???6?cosxsin?6?sinxcos?6?cosxsin?6?cosx?3?3sinx?cosx?3?2sin(x?)?3,6
?所以f(x)的最小值为1.
bx?11，其中a,b为常数，且ab?2. 若 f(x)?f()?k为常数，2x?ax则k的值为 .
1答案：.
4解：由于
3. 已知 f(x)?1bx?1b?xbx2?(b2?1)x?bk?f(x)?f()??? 22x2x?a2?ax2ax?(a?4)x?2a是常数，故2a?k?b，且(a2?4)k?b2?1. 将b?2ak代入(a2?4)k?b2?1整理得
(4k2?k)a2?(1?4k)?0，分解因式得(4k?1)(ka2?1)?0. 若4k?1?0，则ka2?1?0，
因此ab?2ka2?2，与条件相矛盾. 故4k?1?0，即k?
1. 44. 已知方程32x?3x?1?p有两个相异的正实数解，则实数p的取值范围是 .
9答案：(?,?2).
4解法一：令t?3x，则原方程化为t2?3t?p?0. 根据题意，方程t2?3t?p?0有两个大于1的相异实根.
????(?3)2?4p?0,?9令f(t)?t2?3t?p，则?f(1)?12?3?1?p?0,???p??2.
4?3??1.?2解法二：令y?3x，则原方程化为y2?3y?p?0. 注意到这个关于y的方程最多有两个解，而由y?3x严格单调递增知每个y最多对应一个x，因此所求的p应当使
y2?3y?p?0有两个相异的实数解y1,y2，且满足3x1?y1,3x2?y2的两个实数x1,x2都
是正的. 由于x1,x2都是正的，故y1,y2都应大于1. 由于y1?y2?3，故y2?3?y1，因
333?y1?1及y1?3?y1. 因此y1的取值范围为(1,)(,2). 因此此y1必须满足y1?1，
229p??y1y2??y1(3?y1)的取值范围为(?,?2).
4
5. 将25个数排成五行五列：
a11a31a51a12a32a52a13a23a33a43a53a14a24a34a44a54a15a25a35 a45a55a21a22a41a42已知第一行a11,a12,a13,a14,a15成等差数列，而每一列a1j，a2j，a3j，a4j，a5j（1?j?5）都成等比数列，且五个公比全相等. 若a24?4,a41??2,a43?10,则
a11?a55的值为______.
答案：?11
解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等. 由a41??2,a43?10知a42?10?(?2)?4且公差为6，故a44?16,a45?22. 2由a24?4,a44?16知公比q??2.
?21,a55?22?2?4?11，故a11?a55??11； ??3s4?21若q??2，则a11?3?,a55?22?(?2)?4?(?11)，故a11?a55??11.
s4若q?2，则a11?7.将2个a和2个b共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .
答案：3960
解：使得2个a既不同行也不同列的填法有C42A42?72种，使得2个b既不同行也不同列的填法有C42A42?72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种.
其中不合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a1A92?16?72种. 所在的方格内恰有1个方格填有b的情况有C16所以，符合条件的填法共有722?72?16?72?3960种.
8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112?，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80?，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156?，则该梯形的周长为 .
答案：16?213. 解：设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，则梯形绕上底旋转所得旋转体
11122的体积为?h2b??h(a?b)??h(a?2b)，因此?h2(a?2b?)1?1，2即
333a?2b3367h2(2a?b)?240，两式相除得h2(a?2b?)36. 3同理有??，去分母化简
2a?b2405得b?3a，代入h2(a?2b)?336得ah2?48.
注意到直角腰长等于高h，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其
1体积为h(a2?ab?b2)?156. 将b?3a代入化简得a2h?36. 结合ah2?48可解得
3a?3,h?4，因此b?9，由勾股定理知另一条腰的长度为42?(9?3)2?213，因此梯形的周长为3?9?4?213?16?213.
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
x2y21．（本小题满分16分）设椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B，点Pab在椭圆上且异于A,B两点，O为坐标原点. 若|AP|=|OA|，证明：直线OP的斜率k满足|k|?3.
解法一：设P(acos?,bsin?)(0???2?),A(?a,0). 由|AP|?|OA|，有(acos??a)2?(bsin?)2?a，
即a2cos2??2a2cos??b2sin2??0. ……4分
??1?cos??0,从而 ?2 222222??acos??2acos??bsin??asin?.b2sin2?21??1??3. 所以，??cos??0，且22acos?cos?2所以，|k|?bsin?2??1??3. ……16分
acos?cos?解法二：设P(acos?,bsin?)(0???2?).
ab则线段OP的中点Q(cos?,sin?).
22|AP|=|OA|?AQ?OP?kAQ?k??1.
kAQ?bsin??bsin??akAQcos??2akAQ. ……8分
2a?acos?222 ?2akAQ?(b2?b2kAQ)?(sin2??cos2?)?b2?a2kAQ?a2?a2kAQ?|kAQ|?1?|k|?3. ……16分 3
2．（本小题满分20分） 设非负实数a，b，c 满足a?b?c?3. 求
S?(a?ab?b)(b?bc?c)(c?ca?a)
的最大值.
解：不妨设a?b?c.显然有b?bc?c?b，c?ca?a?a.
……………5分
根据不等式可得
222222222222S?ab(a?ab?b)?222243ab3ab22???(a?ab?b)9223 3ab3ab66?22?44(a?b)4(a?b?c)??(a?ab?b)???2???12.2559?33???3……………15分
所以S 的最大值为12，这时?a,b,c???2,1,0?.
……………20分
3．（本小题满分20分）求出所有的函数f:N?N使得对于所有x，y ?N，
22(f(x))?y都能被f(y)?x整除.
***解：根据题目的条件，令x?y?1，则(f(1))?1能被f(1)?1整除. 因此(f(1))?f(1)能被f(1)?1整除，也就是f(1)(f(1)?1)能被f(1)?1整除. 因为f(1)与f(1)?1互素，所以f(1)?1能被f(1)?1整除，且f(1)?1?f(1)?1，所以f(1)?1?0，f(1)?1.
……………10分
222令y?1，则(f(x))?1能被1?x整除，因此(f(x))?x.从而f(x)?x，对所有
222x?N.
令x?1，则1?y能被f(y)?1整除.从而y?f(y)，对所有y?N.
**综上所述，f(x)?x，对所有x?N.
……………20分
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2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准（A卷）(2)
