2012北大自主招生数学试题(理科)
1.求x的取值范围,使得f(x)?x?2?x?x?1是增函数.
2.求x?11?6x?2?x?27?10x?2?1的实数根的个数.
13.已知(x?2x?m)(x?2x?n)?0的4个根组成首项为的等差数列,求m?n.
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4.已知锐角?ABC的外接圆的圆心为O,求O到三角形三边的距离之比.
5.已知点A(?2,0),B(0,2),若点C是圆x2?2x?y2?0上的动点,求?ABC面积的最小值.
6.在1,2,,2012中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数？
7.设点A、B、C分别在边长为1的正三角形的三边上,求AB2?BC2?CA2的最小值.
8.若关于x的方程sin4xsin2x?sinxsin3x?a在[0,?)有唯一解的a,求实数a的范围.
9.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.
10.求证:对于任意的正整数n,(1?2)n必可以表示成s?s?1的形式,其中s?N?.
2012年清华等五校自主招生试题??通用基础测试
数 学
一、选择题
1.若P为?ABC内部任一点(不包括边界),且(PB?PA)(PB?PA?2PC)?0,则?ABC必为( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
2.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若MA?MP,则P点形成的轨迹的长度为( )
A.7 B.37 C.3 D.
223.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n时按下这个按键,会等可能的将其替换为0,1,2,,n?1中的任意一个数.如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9,99,999都出现的概率是( )
A.
1111 B. C. D.
1051041061074.已知?,??R,直线
xyxy??1的交点在直??1与
cos??sin?cos??cos?sin??sin?sin??cos?线y??x上,则sin??cos??sin??cos??( )
A.0 B.1 C.?1 D.2 5.若正整数集合Ak的最小元素为1,最元素为2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差为k的等差数列,则并集A17A59中的元素个数为
A.119 B.120 C.151 D.154 6.三角式
11??cos0cos1cos1cos2?1化简为
cos88cos89A.cot1csc1 B.tan1csc1 C.cot1sec1 D.tan1sec1
x2y2x2y2??1与??1必有 7．设k<3,k≠0，则二次曲线
3?kk52(A)不同的顶点；(B)不同的准线；(C)相同的焦点；(D)相同的离心率．
x2y28.若P为椭圆??1l在第一象限上的动点，过点P引圆x2＋y2=9的两条切线PA、
169PB，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则S?MON的最小值为( ) (A)
9927273；(C)3 ; (B); (D)
22442
x129. 设x1、x2是实系数一元二次方程ax＋bx＋c=0的根，若x1是虚数，是实数,则
x2x?x??x??x?S?1?1??1???1???1??x2?x2??x2??x2?248?x???1??x2?2007的值为
A.0 B.?1003 C.1004 D.?1004 10.函数f:R?R，对任意的实数x、y，只要x+y≠0，就有f(xy)=f(x)?f(y)成立,则函数
x?yf(x)(x∈R)的奇偶性为
(A)一定是奇函数； (B)一定是偶函数; (C)既是奇函数，又是偶函数； (D)既不是奇函数，又不是偶函数．
二、解答题
11. 系统内有2k?1(k∈N+)个元件，每个元件正常工作的概率为p(0 x212.已知fn(x)?1?x??2!xn?(n?N*),求证:当n为偶数时,方程fn(x)?0无解;当n为n!奇数时,方程fn(x)?0有唯一解xn,且xn?2?xn. 13．已知锐角三角形ABC中，BE? AC于点E,CD? AB于点D，且BC=25，CE＝7,BD=15，若BE、CD交于点H，联结DE，以DE为直径作圆，该圆与AC交于另一点F，求AF的长度． 14.已知有n(n≥2)位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，试求n的所有可能值·
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