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《向量数乘运算及其几何意义》问题导读——评价单
设计人：赵鹏飞 审核人：韩明喜 序号：2-2-3
班级： 组名： 姓名： 时间：
[学习目标]
知识与技能：
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 过程与方法：
充分利用学生熟知的代数多项式的运算来帮助学生理解向量的数乘运算 情感态度与价值观：
通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
[重点难点]
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的条件。
[知识链接]
已知非零向量a，作出a?a?a和(?a)?(?a)?(?a)，你能说出它们的几何意义吗？
[预习评价]
问题一：向量的数乘
1、定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
2、规定：|λa|＝|λ||a|.当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝________.
3、几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小为原来的 倍得到． 问题二：向量数乘的运算律
向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则 (1)(λ＋μ)a＝__________；(2)λ(μa)＝(________)a；
(3)λ(a＋b)＝________(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝_______. 问题三：向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________.
1
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问题四：共线向量定理
(1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得__________． (2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0. [未解决的问题] 1． 2． 3．
[多元评价] 自我评价： 同伴评价： 学科长评价：
《向量数乘运算及其几何意义》问题解决——评价单
设计人：赵鹏飞 审核人：韩明喜 序号：2-2-3
班级： 组名： 姓名： 时间：
问题一： 数乘运算
计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
721713
?3a＋2b?－a－b?－?a＋?b＋6a??； (2)?3???6?27?2?(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
回顾归纳
向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 变式训练1
1
计算：(1)3(6a－b)－9(a－b)；
31131
?3a＋2b?－?a＋b??－2?a＋b?； (2)?2??28?2?(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 2
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问题二：共线向量定理的应用
判断下列各组向量是否共线(其中e1、e2为不共线向量)．
11
(1)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；(2)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
23
回顾归纳 判断两个非零向量a，b是否共线，关键是看能否找到一个实数λ，使b＝λa，若这样的实数λ不存在，则两向量必不共线，常转化为判断方程(组)是否有解． 变式训练2 两个非零向量a、b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．
→→→
变式训练3 已知平面内O，A，B，C四点，若OC＝xOA＋yOB，(x，y∈R)．
(1)若x＋y＝1，求证A、B、C三点共线；
(2)若A、B、C三点共线，则实数x，y应满足怎样的条件？
问题三：共线向量在平面几何中的应用
如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的
→→→→
两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．
回顾归纳
向量是研究平面几何问题的重要工具之一，具体运用向量时要注意准确理解向量反映的几何性质．
变式训练4
→
已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则AP等于( )
2→→→→
A．λ(AB＋BC)，λ∈(0,1) B．λ(AB＋AD)，λ∈?0，?
2??
2→→→→
C．λ(AB－AD)，λ∈(0,1) D．λ(AB－BC)，λ∈?0，?
2??
3
2.2.3向量数乘运算及其几何意义 (1)
