《集合与常用逻辑用语》知识点汇总
一、选择题
1．给出下列说法： ①“tanx?1”是“x?
?4
”的充分不必要条件；
②定义在?a,b?上的偶函数f(x)?x2?(a?5)x?b的最大值为30； ③命题“?x0?R,x0?1?2”的否定形式是“?x?R,x?1?2”. x0xB．1
C．2
D．3
其中错误说法的个数为（ ） A．0 【答案】C 【解析】 【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果. 【详解】 对于①，当x?
?4
时，一定有tanx?1，但是当tanx?1时，x?k???4,k?Z，
所以“tanx?1”是“x?
?4
”的必要不充分条件，所以①不正确；
对于②，因为f?x?为偶函数，所以a??5.因为定义域?a,b?关于原点对称，所以
b?5，
2所以函数f(x)?x?5,x?[?5,5]的最大值为f??5??f?5??30，所以②正确；
对于③，命题“?x0?R,x0?故错误说法的个数为2. 故选：C. 【点睛】
1?2”的否定形式是“?x?R,x?1?2”，所以③不正确； x0x本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题..
x2y22．“?1?m?3”是“方程??1表示椭圆”的（ ）
m?17?mA．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
x2y2方程??1表示椭圆解得?1?m?3或3?m?7，根据范围大小判断得到答案.
m?17?m【详解】
?m?1?0?xy因为方程，解得?1?m?3或3?m?7. ??1表示椭圆，所以?7?m?0m?17?m?m?1?7?m?22x2y2故“?1?m?3”是“方程??1表示椭圆”的充分不必要条件.
m?17?m故选：A 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
3．a??12是函数f(x)?ax?x?1有且仅有一个零点的（ ） 4B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
A．充分不必要条件 条件 【答案】A 【解析】 【分析】
1代入函数证明充分性，取a?0得到不必要，得到答案. 4【详解】
将a??11?1?当a??时，f(x)??x2?x?1???x?1??0，x??2，充分性； 44?2?当a?0时，f(x)??x?1?0，x??1，一个零点，故不必要. 故选：A. 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.
2
4．若数列?an?的前n项和为Sn，则“Sn?A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
必要性显然成立；由Sn?n?a1?an?”是“数列?an?是等差数列”的（ ） 2B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
n?a1?an?(n?1)?a1?an?1?，Sn?1?，得
22(n?1)an?1?a1?(n?2)an①，同理可得(n?2)an?2?a1?(n?3)an?1②，综合①，
②，得2an?1?an?an?2，充分性得证，即可得到本题答案. 【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性， 若Sn?n?a1?an?(n?1)?a1?an?1?2时，Sn?1?，所以当n…，
22所以2an?n?a1?an??(n?1)?a1?an?1?，化简得(n?1)an?1?a1?(n?2)an①，
3时，(n?2)an?2?a1?(n?3)an?1②， 所以当n…①?②得2(n?2)an?1?(n?2)?an?an?2?，所以2an?1?an?an?2，即数列?an?是等差数列，充分性得证，所以“Sn?故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
n?a1?an?”是“数列?an?是等差数列”的充要条件. 2
5．给出下列命题，则假命题的个数是（ ）
①若a,b,c?R，则“a?b”的充要条件是“ac2?bc2”；
②给定两个命题p，q，?p是q的必要不充分条件，则p是?q的充分不必要条件； ③设x,y?R，若x?y?7，则x?3或y?4；
④命题“若m?0，则方程x2?2x?3m?0有实数根”的否命题．（ ） A．0 【答案】C 【解析】 【分析】
当c=0时，ac2?bc2不成立，反过来，若ac2?bc2，则可得a?b，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④. 【详解】
若a?b，当c=0时，ac2?bc2不成立，反过来，若ac2?bc2，则可得a?b，故
B．1
C．2
D．3
ac2?bc2是a?b的充分不必要条件，故①错误；
若?p是q的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，?q是p的必要不充分
条
件，即p是?q的充分不必要条件，故②正确；
若x?y?7，则x?3或y?4的逆否命题为若x?3且x?4，则x?y?7，显然逆否命 题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；
若m?0，则方程x2?2x?3m?0有实数根的否命题为若m?0，则方程
x2?2x?3m?0无实根，
显然是假命题，因为m?0时，方程就有实根，故④错误. 故选：C 【点睛】
本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
6．下面说法正确的是（ ）
A．命题“若??0，则cos??1”的逆否命题为真命题 B．实数x?y是x2?y2成立的充要条件
C．设p，q为简单命题，若“p?q”为假命题，则“?p??q”也为假命题
2D．命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，使得x2?x?1?0”
【答案】A 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】
A. 命题“若??0，则cos??1”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；
B. 由x2?y2得x?y或x??y，所以实数x?y是x2?y2成立的充分不必要条件，所以该选项错误；
C. 设p，q为简单命题，若“p?q”为假命题，则p,q都是假命题，则“?p??q”为真命题，所以该选项错误；
2D. 命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，使得x2?x?1?0”，所以该
选项错误. 故选：A 【点睛】
本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．“函数f(x)??x2?2(a?1)x?3在区间(??,2]上单调递增”是“a??4”的（ ）
A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
2先分析“a??4”能否推出“函数f(x)??x?2(a?1)x?3在区间(??,2]上单调递增”，这
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
是必要性分析；然后分析“函数f(x)??x2?2(a?1)x?3在区间(??,2]上单调递增”能否推出“a??4”，这是充分性分析，然后得出结果. 【详解】
若a??4，则对称轴x??(a?1)?3?2，所以f(x)在(??,2]上为单调递增， 取a??3，则对称轴x??(a?1)?2，f(x)在(??,2]上为单调递增，但a??4，所以“f(x)在(??,2]上为单调递增”是“a??4 ”的必要不充分条件. 【点睛】
充分、必要条件的判断，需要分两步：一方面要说明充分性是否满足，另一方面也要说明必要性是否满足.
8．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( ) A．必要不充分条件 条件 【答案】C 【解析】
当a?0时，方程ax2?1?0，即x??2B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
1，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，a2符合题意；当方程ax2?1?0至少有一个负数根时，a不可以为0，从而x??1，所以aa?0，由上述推理可知，“a?0”是方程“ax2?1?0至少有一个负数根”的充要条件，故选
C.
9．记全集U?{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{4,6,7,8} 【答案】C 【解析】 【分析】
根据图像可知，阴影部分表示的是CU?A?B?,由此求得正确结论. 【详解】
根据图像可知，阴影部分表示的是CU?A?B?,AUB??1,2,3,4,5,6?,故
B．{2}
C．{7,8}
D．{1,2,3,4,5,6}
CU?A?B???7,8?，故选C.
【点睛】
高考数学压轴专题江阴备战高考《集合与常用逻辑用语》真题汇编及解析
