此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。 专题四：函数与方程思想
【考情分析】
纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。
在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。
预测2020年高考对本讲考查趋势：函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等式间的关系；特别注意客观形题目，大题一般难度略大。 【知识交汇】
函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；
3．函数的思想与方程的思想的关系
在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题
需要用函数的知识和方法去解决．对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程可相互转化。
此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。 4．函数方程思想的几种重要形式
（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；
（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；
（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；
（4）函数f(x)＝(ax?b)（n∈N）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数
*
n用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；
（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；
（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 【思想方法】
题型1：函数思想在方程中应用
例1．已知
25b?c?1（a、b、c∈R），则有（ ） 5a222(A) b?4ac (B) b?4ac (C) b?4ac (D) b?4ac 解析：
法一：依题设有 a·5－b·5＋c＝0，
2∴5是实系数一元二次方程ax?bx?c?0的一个实根；
22∴△＝b?4ac≥0 ∴b?4ac 故选(B)； 法二：去分母，移项，两边平方得：
5b2?25a2?10ac?c2≥10ac＋2·5a·c＝20ac，
∴b?4ac 故选(B)
题型2：函数思想在不等式中的应用
2例2．若a、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围。
此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。 方法一 (看成函数的值域)∵ab＝a＋b＋3，∴a≠1，∴b＝
a＋3a＋3
，而b>0，∴>0，a－1a－1
a＋3(a－1)2＋5(a－1)＋4
即a>1或a<－3，又a>0，∴a>1，故a－1>0.∴ab＝a·＝＝(a－
a－1a－1
1)＋
4
＋5≥9. a－1
当且仅当a－1＝
44，即a＝3时取等号．又a>3时，(a－1)＋＋5是关于a的单a－1a－1
调增函数．
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
方法二 (看成不等式的解集)∵a，b为正数，∴a＋b≥2ab，又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2ab＋3.
2
即(ab)－2ab－3≥0，解得ab≥3或ab≤－1(舍去)，∴ab≥9.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
2
方法三 若设ab＝t，则a＋b＝t－3，∴a，b可看成方程x－(t－3)x＋t＝0的两个正根．
Δ＝(t－3)－4t≥0??
从而有?a＋b＝t－3>0
??ab＝t>0
2
t≤1或t≥9??
，即?t>3
??t>0
，
解得t≥9，即ab≥9.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
点评：当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决。
题型3：函数思想在实际问题中的应用 例3．（2020陕西理14) ．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题； 【解】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图），
1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第i个树坑距离的和是：
s?(i?1)?10?(i?2)?10??(i?i)?10?[(i?1)?i]?10??(20?i)?10?10?[i?i?i(i?1)(20?i)(i?1?20)?i?(20?i)?]?10(i2?21i?210)。 22所以当i?10或11时，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米。
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和
2020年高考数学二轮复习专题辅导资料 专题(4)函数与方程思想
