7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
教学目标
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
1．先包含——A?B
重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A?B?AB
把多加了1次的重叠部分AB减去．
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下：
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．
1．先包含：A?B?C
重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A?B?C?AB?BC?AC
重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A?B?C? AB?BC?AC计算时都被减掉了．
3．再包含：A?B?C?AB?BC?AC?ABC．
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 例题精讲
模块一、三量重叠问题
【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报
纸，其中甲报30份，乙报34份，丙报40份，那么既订乙报又订丙报的有___________户。
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 总共有（30＋34＋40）?2＝52户居民，订丙和乙的有52－30＝22户。 【答案】22户
【例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共
有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
BAC
【解析】 如图，用A圆表示手中有红旗的，B圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有
红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：（34?26?18）?（9?4?3）? 6?2?50(人)．
【答案】50人
【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人．根据包含排除法，
42?（26?17?19）?（9?4?既爱打篮球又爱打排球的人数）?0，得到既爱打篮球又爱打排球的人数为：49?42?7(人)．
【答案】7人
【例 3】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，
参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集
合G．三者都参加的学生有z人．有ABC=46，A=24，B=20，C=3.5，AC=7ABC，
BC=2ABC，AB=10．
因为ABC?A?B?C?AB?AC?BC?ABC，
所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，
即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3?7=21人．
【答案】21人
【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35
人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
A自然B美术C语文
【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人
组成集合C．
A=25，B=35，C=27，BC=12，AB =8，AC=9， ABC=4.
ABC=A?B?C?AB?AC?BC?ABC.
所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．
【答案】62人
【巩固】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，
参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人
加起来，共是42?55?33?130人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：130?（18?10?9）?5?98(人)．
或者根据学过的公式：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC，参加棋类比赛的总人数为：42?55?33?18?10?9?5?98(人)．
【答案】98人
【例 4】 新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍
于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】西城实验 【解析】 设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳
舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为50?10?40人，即x?3x?40，得x?10，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：40?10?10?3?17人．
【答案】17人
【巩固】 六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的55人，爱
好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 只是A类和B类的元素个数，有别于容斥原理Ⅱ中的既是A类又是B类的元数个数．依题意，画图
如下．设只爱好科学和文艺两项的有x人．由容斥原理，列方程得 55?56?51?（17?15）?（4?15）?（x?15）?15?100 即 55?56 ?5?11?7x?4?1?5?2111?x?100
x?11 只爱好体育的有：55?17?15?4?19(人)．
【答案】11人只爱好科学和文艺，19人只爱好体育。
小学奥数教程：容斥原理之重叠问题(二)全国通用(含答案)
