莆田一中2013届高三模拟数学（文科）试卷
（考试时间：120分钟 分值：150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的。 1、tan(?480?)的值等于（ ）
A．33 B．3 C．— D．—3 332、下列函数中，定义域为?x|x?0?的是（ ）
11?xA．y? B．y?x2 C．y?3 D．y?lgx
x
3、若集合P??2,log2a?,Q??a,b?,且PIQ??0?，则a?b的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
uuuruuur4、若矩形ABCD中AB边的长为2，则ABgAC的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、若非负实数x,y满足2x?y?4?0且4x?3y?9?0，则x?y的最大值是（ ） A．2 B．
95 C． D．3 426、若一个四棱锥的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，则
该四棱锥的四条侧棱长之和等于（ ）
俯视图 A. 42 B. 43 C 8 D 45
7、已知命题P：有的三角形是等腰三角形，则（ ）
A．C．
?P：有的三角形不是等腰三角形B．?P：有的三角形是不等腰三角形 P：所有的三角形都是等腰三角形D．?P：所有的三角形都不是等腰三角形
?8、若在区间[0，5]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，5]内的概率是（ ）
1
A．
1??? B． C． D． 52052甲 乙
9 9 8 3 8 8 9 1 9 0 1 2
9、若茎叶图所表示的是甲、乙两名同学在5次数学考试中的成绩，若x甲、x乙分别表示甲、
乙的平均成绩，则下列结论正确的是（ ） A．x甲＜x乙，且甲比乙成绩稳定 B．x甲＜x乙，且乙比甲成绩稳定 C．x甲＞x乙，且甲比乙成绩稳定 D．x甲＞x乙，且乙比甲成绩稳定
10、在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c。若角A，B，C依次成等差数列，
且a?1,b?3，则△ABC的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．11、给出下列四个命题：（ ）
3 D．2 2 ①离心率为2的双曲线的两渐近线互相垂直；
②过点（1，1）且与直线x?2y?3=0垂直的直线方程是2x?y?3?0； ③抛物线y?2x的焦点到准线的距离为1；
④对?a?R，方程x?y?2x?2?a均表示圆。其中所有正确的命题个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
2222?1?x?2,x?2212、若函数f(x)??则关于x的方程式f(x)?f(x)的实数解的个数为（ ）
?1,x?2,?A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．
13、若命题“?x?R,x?a?0”为真命题，则实数a的取值范围为 。 14、运行如图所示程序，输出的结果是 。
15、若圆：C:(x?a)?(y?2)?4(a?0)被直线l:x?y?1?0截得的弦长为22，而函数f(x)?alnx?2x?6的零点落在区间(k?1,k)内，则正
2222
i=1 S=1 WHILE i＜=4 S=S*i i=i+1 WEND PRINT S 2 END 整数k的值等于 。
gg,Am为集合A??1,2,g16、若A1,A2,ggg,n? (n?2且n?N)的子集，且满足两个条件：
*ggUAm?A; （i）A1UA2Ug（ii）对任意的?x,y??A，至少存在一个i??1,2,3,ggg,m?，使AiI?x,y???x?或?y?，
gg,Am具有性质P。当n?4时，给出下列三个集合组： 则称集合组A1,A2,g集合组①：A1?,A2??2?,A3??3,4? 1??集合组②：A1,2?,A2??2,3?,A3??4? 1??集合组③：A具有性质P的集合组的序号是 。1,2?,A2??3,4?,A3??2,3,4?其中，1??（写出所有具有性质P的集合组的序号）
三．解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 17、（本小题满分12分） 已知Sn为各项均为正数的等比数列?an?的前n项和，且
2a3?13a2ga6,S2? （I）求数列?an?的通项公式； 42*（II）若Sn?120(n?N)，求n的最小值。
18、（本小题满分12分）已知函数f(x)?sin(x?（I）画出函数在x?[0,2?]的简图；
?)?cos(x?)
44?（II）写出函数的最小正周期和单调递增区间；并确定x的值使得函数f(x)取得最大值。 （III）若x是△ABC的一个内角，且f(x)?2，试判断△ABC的形状。
19、（本小题满分12分）已知四棱锥P—ABCD中，PD⊥面ABCD，底面四边形ABCD是菱形。
（I）求证：AC⊥PB；
P （II）若∠DAB=60°，E是PC边上的一点， 且PA∥平面EDB，记??S?PBC，求?的值。 S?EBDE 20、（本小题满分12分）某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性，D 公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表： 疫苗有效
C A组 673 B组 x A C组 y B 3
疫苗无效 77 90 z 若在全体样本中随机抽取1个，恰好抽到B组疫苗有效的概率是0.33。 （1）求x的值；
（II）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？ （III）若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过，已知y?465,z?30，求这种新流感疫苗不能通过测试的概率。 21、（本小题满
分12分）已知函数
18f(x)?x3?x2?3x?,g(x)?kx?b(k,b?R),点P(?1,1)是这两个函数的图象的公共
33点。
（I）若函数f(x)在点P处的切线方程为y?g(x)，求实数b的值。 （II）令h(x)?f(x)?g(x).判断函数y?h(x)的零点个数。
22、（本小题满分14分）如图，A，B，C为我国领海中的三座小岛，AB=4海里，AC=43海里，且∠BAC=150°在此。某训练基地模拟我国“北斗一号”卫星定位系统的工作原理在A，
B，C处建立了信号发射器并定时发送某种信号，该信号在A，B间的传送时间为t0，用t1,t2,t3分别表示信号在训练船P与A，B，C间的传送时间。
（I）若训练船P在航道的航行过程中测得t1?t2恒为定值，且在某时刻测得t0，t1,t2满足t0:t1:t2?3:2:4，试建立恰当的平面直角坐标系，并求出该训练船的航道所在的曲线方程；
A B 东C （II）在（I）的条件下，若训练船P在某时刻测得t3?2t1，试以点A为基准，确定该训练船在这一时刻的位置（方位和距离）。
莆田一中2012－2013学年度高三数学（文科）试卷
参考答案
1-5 BBADD 6-10 DDBBC 11-12 CA 13、(??,0] 14、24 15、3 16、②
17、解：（1）y?sin(x??)?cos(x?)?44?2sin(x???)?44?2sinx……2分
图象如右图所示…………5分
4
（II）该函数的最小正周期为?，
单调增区是[k?,k??当x?k???2](k?Z)，
?2(k?Z)时，函数取
最大值，最大值为2……9分 （III）由f(x)?2sinx?2，且x是△ABC
的一个内角，得sinx?1，从而x?△ABC是直角三角形……12分
?2，所以
11222，所以q?4。因为数a2ga6得a3?a444331列?an?的各项均为正数，故q=2，由S2?a1?a2?得3a1?,所以a1?。故数列?an?2221n?1n?2的通项公式为an??2?2………………6分
21n?2P （II）因为a1?,q?2,an?2，所以218、解：（I）设数列?an?的公比为q，由a3?22?1?2n?2?21Sn??2n?1?，
1?22n?1又Sn?120，即2?E
D 的最小值为8。……12分 C 19、（I）证明：连结AC，因为四边形
A ABCD为菱形，所以AC⊥BD。 B
又因为PD⊥面ABCD，AC?面ABCD， 所以AC⊥PD。又PDIBD=D， 所以AC⊥面PBD。
又PB?面PBD，所以AC⊥PB。……5分
（II）解：记ACIBD=0，连结EO。因为PA∥面BDE，且OE?平面BDE，所以PA∥OE。又因为O为AC的中点，所以E为PC的中点。又在△PDC为直角三角形，所以DE=EC。在菱形ABCD中，因为∠DAB=60°，所以BD=BC，因此，在△BDE与△BEC中，有DE=EC，BD=BC，BE=BE，所以△BDE≌△BCE。所以??1解得n?8(n?N)。故n?120，
2S?PBC2S?EBC??2………………12分 S?EBDS?EBD20、解：（I）由题意，在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33，所
以抽到B组疫苗有效的样本数为2000×0.33=660，即x=660。……3分 （II）A组样本共有750个，B组样本共有750个，故C组样本共有500个，由360×故应在C组抽取90个…………6分
5
500?90，2000（III）设测试不能通过的事件为M，C组疫苗可能的情况为（y,z）。由
y?465,z?30,且y?z?500，所以样本空间包含的基本事件有：
（465，35），（466，34），（467，33），（468，32），（469，31），（470，30）共6个。
77?90?z>10%，即z>33，故事件M包含的基本事件
200021有（465，35），（466，34）共2个。所以P(M)??。所以该流感疫苗不能通过测试的
631概率为………………12分
3若这种新流感疫苗不能通过测试，则
21、解：以BA为x轴，AB中点O为原点，并取正北方向为y轴正方向建立直角坐标系，则
A(2,0),B(?2,0).
（I）由已知得船P的航线是以A，B为焦点的椭圆， 因为t0:t1:t2?3:2:4, 所以即所求椭圆的离心率e?AB31??，
AP?BP2?421， 22又AB?4，即c=2，故a?4,b?12，
x2y2??1……6分 从而训练船P的航道所在的曲线方程为
1612（II）因为AC=43，且∠BAC=150°，所以点C的坐标为C(8,23)
2222设P(x,y)，由t3?2t1得(x?8)?(y?23)?2(x?2)?y， 22整理得3x?3y?43y?60,①
又点P在椭圆上，所以3x?4y?48, ②
2②—①得y?43y?12?0,所以y?23,x?0,得PA?4,?PAB?60?
22此时，训练船位于距点A4海里，在点A的北偏西30°的点P处。……14分
6
福建省莆田一中高三数学模拟试题 文 新人教A版
