2015-2016学年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知i是虚数单位，则复数z=
在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合M={1，（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i}，N={1，3}，M∩N={1，3}，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣1 C．4或﹣1 D．1或6 3．（2x+5y）n展开式中第k项的二项式系数为（ ） A．C．
B．
2D．
n﹣kk
5 2
n+1﹣kk﹣1
5
4．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（3）=（ ） A．
B．
C．1
D．2
5．下列值等于1的积分是（ ） A．
xdx B．
（x+1）dx C．
1dx D．
dx
是对数函数（小前提），所以
6．“因为对数函数y=logax是增函数（大前提），而y=y=
是增函数（结论）．”上面推理的错误是（ ）
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错 7．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g
x
（x）=a+b的图象大致为（ ）
1
A． B． C．
D．
8．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表 认为作业量大 认为作业量不大 总计 男生 18 9 27 女生 8 15 23 总计 26 24 50 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”的把握大约为（ ） 附：Χ2=
．
独立性检验临界值表
2
P（χ≥k） 0.05 0.010 0.005 0.001 K 3.841 6.635 7.879 10.828 A．99% B．95% C．90% D．不确定
9．下列命题中，正确的命题个数是（ ）
①用相关系数r来判断两个变量的相关性时，r越接近0，说明两个变量有较强的相关性； ②将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后，期望改变，方差不变； ③某厂生产的零件外直径x～N（3，1），且p（2≤x≤4）=0.68，则p（x＜4）=0.84 ④用数学归纳法证明不等式
+
+…+
﹣＜
（n≥2，n∈{N*）的过程中，由n=k递．
推到n=k+1时不等式的左边增加项为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率P（A|B）等于（ ） A．
B．
C．
D．
11．从1，2，3，4，9，18六个数中任取两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，得到不同的对数值有（ ）
A．21 B．20 C．19 D．17 12．已知函数f（x）=lnx+tanα（0＜α＜的根x0小于1，则α的取值范围为（ ）
2
）的导函数为f'（x），若方程f'（x）=f（x）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分.）
2
13．如果质点M按规律s=3+t运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是 ． 14．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0 （a，b为实数）”，其反设为 ． 15．设a∈Z，且0≤a＜13，若512016+a能被13整除，则a= ． 16．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）=2f（）
﹣1，则f（x）= ．
三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知i是虚数单位，z1=x+yi（x，y∈R），且x2+y2=1，z2=（3+4i）z1+（3﹣4i）
．
（ I） 求证：z2∈R；
（ II）求z2的最大值和最小值．
2
18．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣0.15x和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？ 19．已知a＞b＞0，求证：
．
20．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． （I） 求进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率； （II）求进入商场的1位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率；
（III）用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲，乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．
21．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+
对称，求b的最小值．
22．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
3
2015-2016学年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知i是虚数单位，则复数z=
在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则及其几何意义即可得出． 【解答】解：复数z=
=
=
=
在复平面内对应的点
所在的象限为第四象限．
故选：D．
22
2．已知集合M={1，（m﹣3m﹣1）+（m﹣5m﹣6）i}，N={1，3}，M∩N={1，3}，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣1 C．4或﹣1 D．1或6
【考点】复数相等的充要条件；交集及其运算．
22
【分析】根据题意，由交集的定义可得3∈M，结合集合M，可得（m﹣3m﹣1）+（m﹣5m﹣6）
22
i=3，进而由复数相等的意义，可得（m﹣3m﹣1）=3且（m﹣5m﹣6）=0，解可得m的值． 【解答】解：根据题意，若M∩N={1，3}，则3∈M， 而M={1，（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i}， 则有（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i=3， 即（m2﹣3m﹣1）=3且（m2﹣5m﹣6）=0， 解可得m=﹣1， 故选：B． 3．（2x+5y）n展开式中第k项的二项式系数为（ ） A．C．
B．
2n﹣k5k D．
2n+1﹣k5k﹣1
【考点】二项式系数的性质．
【分析】直接根据二项式的性质即可求出． 【解答】解：（2x+5y）n展开式中第k项的二项式系数为Cnk﹣1， 故选：C．
4．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（3）=（ ） A．
B．
C．1
D．2
【考点】函数奇偶性的性质．
4
【分析】由条件利用函数的奇偶性的性质求得f（1）的值，再根据f（1）=f（﹣1+2）=﹣f（1）+f（2），求得f（2）的值，从而求得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）的值． 【解答】解：函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2）， ∴f（0）=0，∴且 f（1）=f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（2）=﹣f（1）+f（2）， ∴f（2）=2f（1）=1，
则f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=+1=， 故选：B．
5．下列值等于1的积分是（ ） A．
xdx B．
（x+1）dx C．
1dx D．
dx
【考点】定积分的简单应用．
【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可． 【解答】解：选项A，选项B，选项C，选项D，故选C．
6．“因为对数函数y=logax是增函数（大前提），而y=y=
是增函数（结论）．”上面推理的错误是（ ）
是对数函数（小前提），所以
xdx=x
2
2
=，不满足题意； =+1=，不满足题意；
（x+1）dx=（x+x） 1dx=x dx=x
=1﹣0=1，满足题意； =﹣0=，不满足题意；
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错 【考点】进行简单的演绎推理．
【分析】当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y=logax是减函数，故可得结论．
【解答】解：当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y=logax是减函数，
故推理的大前提是错误的 故选A．
7．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象大致为（ ）
5
辽宁省锦州市高二数学下学期期末试卷 理(含解析)
