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第二章 控制系统的数学模型
2-1 在图1-22的液位自动控制系统中，设容器横截面积为F，希望液位为c0。若液体高度转变率与液体流量差Q1?Q2成正比，试列写以液位为输出量的微分方程式。
解 本题研究成立液位控制系统的微分方程数学模型。
当Q1?Q2时，液位的高度为c0；当Q1?Q2时，液位的高度c将发生转变。 由于液体高度转变率与液体流量差Q1?Q2成正比，所以有
F则以液位为输出量的微分方程式为
dc?Q1?Q2 dtdc1??Q1?Q2? dtF
2-2 设机械系统如图2-57所示，其中xi是输入位移，x0是输出位移。试别离写出各系统的微分方程。
图2-57 机械系统
解 本题研究成立机械系统的微分方程数学模型。
(1) 对于2-57(a)所示系统，按照力平衡方程，在不计重力时，可得
f1?xi?x0??f2x0?mx0
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则系统的微分方程式为
d2x0dxdxm2??f1?f2?0?f1i dtdtdt(2) 对于2-57(b)所示系统，在上部份弹簧与阻尼器之间取辅助点A，并设A点位移为
x，方向向下。按照力平衡方程，在不计重力时，可得下列方程
K1?xi?x??f?x?x0? K2x0?f?x?x0?
消去中间变量x，由于
K2x0?K1?xi?x?， x?xi?K2x0 K1K2x0 K1x?xi?故有
K1K2x0?K1fx?K1fx0?fK1xi?fK1x0?fK2x0
则系统的微分方程式为
f?K1?K2?dx0dx?K1K2x0?K1fi dtdt(3) 对于2-57(c)所示系统，按照力平衡方程，在不计重力时，可得
K1?xi?x0??f?xi?x0??K2x0
则系统的微分方程式为
fdx0dx??K1?K2?x0?fi?K1xi dtdt
2-3 试证明图2-58(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
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(a) (b)
图2-58 电网络与机械系统
解 本题研究用拉氏变换法成立系统的传递函数数学模型。 (1) 对于图2-58(a)，按照复数阻抗的方式可得电网络的传递函数为
Ga?s??U0?s??
1Ui?s?R1?C1s?1???R2??1?Cs2?R1?C1sR2?1C2sR1R2C1C2s2??R1C1?R2C2?s?1? 2R1R2C1C2s??R1C1?R2C2?R1C2?s?1(2) 对于图2-58(b)，在弹簧K1和阻尼器f1之间引入辅助点，设其位移为x，方向向下。按照力平衡方程，在不计重力时，可得
K2?xi?x0??f2?xi?x0??f1?x0?x? K1x?f1?x0?x?
对上述两式进行拉氏变换，考虑初始条件为零，可得
K2Xi?s??K2X0?s??f2?sXi?s??f2?sX0?s??f1?sX0?s??f1?sX?s?
K1X?s??f1?sX0?s??f1?sX?s?
消去中间变量X?s??f1sX0?s?
K1?f1s-11
第二章控制系统的数学模型
