三、解答题
21．（1）17.4；（2）（i）14.77千元（ii）978位 【解析】 【分析】
（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i）根据正态分布可得：P(X????)?0.5?0.6827?0.8414即可得解；（ii）2根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k的取值即可得解. 【详解】
（1）由频率分布直方图可得：
x?12?0.04?14?0.12?16?0.28?18?0.36?20?0.1?22?0.06?24?0.04?17.4；
（2）（i）由题X~N?17.4,6.92?，P(X????)?0.5?0.6827?0.8414， 2所以????17.4?2.63?14.77满足题意，即最低年收入大约14.77千元；
0.9545?0.9773， 2每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，
（ii）P(X?12.14)?P(X???2?)?0.5?记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X，X:B?1000,0.9773? 恰有k位农民中的年收入不少于12.14千元的概率
kP?X?k??C10000.9973k?1?0.9973?1000?k
P?X?k?1001?k??0.9773???1得k?1001?0.9773?978.2773， P?X?k?1?k??1?0.9773?所以当0?k?978时，P?X?k?1??P?X?k?，当979?k?1000时，
P?X?k?1??P?X?k?，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有
可能是978位. 【点睛】
此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强. 22．（1）x?y?2?0（2）43 【解析】 【分析】 【详解】
Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y?x?1． 因为四边形ABCD为菱形，所以AC?BD．
于是可设直线AC的方程为y??x?n．
x2?3y2?4，2由{得4x?6nx?3n2?4?0． y??x?n因为A，C在椭圆上，
所以???12n2?64?0，解得?4343． ?n?33(x2，y2)， 设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，3n3n2?4则x1?x2?，x1x2?，y1??x1?n，y2??x2?n．
24所以y1?y2?n． 2?3nn?所以AC的中点坐标为?，?．
?44?由四边形ABCD为菱形可知，点?所以
?3nn?，?在直线y?x?1上， ?44?n3n??1，解得n??2． 44所以直线AC的方程为y??x?2，即x?y?2?0．
（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且?ABC?60o， 所以AB?BC?CA． 所以菱形ABCD的面积S?232AC． 22?由（Ⅰ）可得AC??1???1???x1?x2?22?3n2?16??4x1x2??， ?2?43343?2(?3n?16)?所以S???3?n?3??， 4??故当n?0时，有Smax?3?16?43 421 723．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）?【解析】 【分析】
（Ⅰ）由矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，AD?AB，进而证得AD?平面ABEF，证得AD?AG，再根菱形ABEF的性质，证得AG?AF，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG?平面ADF.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，
AD为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD和平面ACG一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】
（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，AD?AB， ∵矩形ABCD?菱形ABEF?AB，∴AD?平面ABEF， ∵AG?平面ABEF，∴AD?AG，
∵菱形ABEF中，?ABE?60?，G为BE的中点，∴AG?BE，∴AG?AF， ∵AD?AF?A，∴AG?平面ADF.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，
AD为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB?3，BC?1，则AD?1，AG?3， 2?33??3?A?，0，0?， ，?，10，0?，C?D0，01，故A?0，，，????22??2???uuur?3uuur?3r3?uuu?AG?，0，0，?，1AD?0，01，则AC??，，?????， ?2?22????rur3?uuu3urn1?x1?y1?z1?0?AC·设平面ACD的法向量n1??x1，y1，z1?，则?， 22uuurur?AD·n1?z1?0?ur，3，0， 取y1?3，得n1?1??ruur3?uuu3AC·n?x?y2?1z2?0?22uur?22设平面ACG的法向量n2??x2，y2，z2?，则?，
uuuruur3?AG·n2?x2?0?2?uur2，3， 取y2?2，得n2?0，uruuur|n1?n2|2321cosθ???uruur设二面角D?CA?G的平面角为θ，则，
7n1·n22?7??由图可知θ为钝角，所以二面角D?CA?G的余弦值为?21 . 7【点睛】
本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在
考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
2224．（1）x?y?4?y?0?（2）5 【解析】
（1）消去参数t得l1的普通方程l1:y?k?x?2?；消去参数m得l2的普通方程
l2:y?1?x?2?. k?y?k?x?2??22设P?x,y?,由题设得?，消去k得x?y?4?y?0?. 1?y?k?x?2??所以C的普通方程为x?y?4?y?0?.
22（2）C的极坐标方程为?2?cos??sin???4?0???2π,??π?.
22222???cos??sin??4,联立?得cos??sin??2?cos??sin??.
????cos??sin???2?0??故tan???21， 391,sin2??. 101022从而cos??代入?2?cos??sin???4得?2?5，
所以交点M的极径为5.
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 25．（1）3x＋y＋2＝0；（2）(x－2)2＋y2＝8. 【解析】 【分析】
(1) 直线AB斜率确定，由垂直关系可求得直线AD斜率，又T在AD上，利用点斜式求直线AD方程；（2）由AD和AB的直线方程求得A点坐标，以M为圆心，以AM为半径的圆的方程即为所求. 【详解】
(1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－3． 又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋2＝0． (2)由??x?3y?6?0?x?0,得?,
?3x?y?2?0?y??2∴点A的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)， ∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|＝?2?0?2??0?2??22.
2∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8． 【点睛】
本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.
x?1?；(2)证明见解析. 26．(1)M?xx??1或 【解析】 【分析】
（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明ab?1?a?b，再两边平
22方，因式分解转化为证明a?1b?1?0，最后根据条件a?1,b?1确定
??2??2??a2?1??b2?1??0成立.
【详解】
（1）∵f?x??2x?1?1，∴x?1?2x?1?1?0. 当x??1时，不等式可化为?x?1??2x?1??1?0， 解得x??1，∴x??1； 当?1?x??当x??1,不等式可化为x?1??2x?1??1?0，解得x??1， 无解； 21时，不等式可化为x?1??2x?1??1?0，解得x?1，∴x?1. 2综上所述，M?xx??1或x?1?.
（2）∵f?a??f??b??a?1??b?1≤a?1???b?1??a?b， 要证f?ab??f?a??f??b?成立， 只需证ab?1?a?b， 即证ab?1?a?b， 即证a2b2?a2?b2?1?0, 即证a?1b?1?0.
由（1）知，M?xx??1或x?1?， ∵a、b?M，∴a?1,b?1， ∴a?1b?1?0成立.
综上所述，对于任意的a、b?M都有f?ab??f?a??f??b?成立.
22?22?2??2???2??2?
【好题】高中三年级数学下期末一模试卷带答案(5)
