1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
不等式部分
2019B一、（本题满分40分）设正实数a1,a2,,a100满足ai?a101?i（i?1,2,99x99?1。
,50）．
记xk?kak?1（k?1,2,a1?a2??ak2,99），证明：x1x2★证明：注意到a1,a2,,a100?0．对k?1,2,k,99，由平均值不等式知
?k 0???a1?a2?2从而有x1x2?1?， ……………10 分 ??ak?a1a2akk99k?x99??ak?1?k?1?a1?a2?99k99?ak?1． ① ………………20 ????ak?k?1a1a2akk分
记①的右端为T ，则对任意i?1,2,分母中的次数为100?i．从而
?a101?i?2?101?i??101T??ai2i?101??ai2i?101a101?????ii?1i?1i?1?ai?1005050101?2i在T 的,100，ai在T的分子中的次数为i?1，
。……30 分
99x99?T?1…………40
又0?a101?i?ai（i?1,2,分
2,50） ，故T?1，结合①得x1x22018B一、（本题满分40分）设a,b是实数，函数f(x)?ax?b?使得f(x0)?2。
★证明:用反证法.假设对任意的x??1,9?，均有f(x)?2，则
9。证明：存在x0??1,9?，xf(1)?2，f(3)?2，f(9)?2
即a?b?9?2，3a?b?3?2，9a?b?1?2 注意到f(3)?4f(2)?3f(1)?16
又f(3)?4f(2)?3f(1)?16?f(1)?4f(3)?3f(9)?16矛盾！ 所以原命题得证。
2017A 9、（本题满分16分）
2设k,m为实数，不等式x?kx?m?1对所有x??a,b?成立，证明：b?a?22。
★证明：记 f(x)?x?kx?m，x??a,b?，则f(x)???1,1?。于是
2f(a)?a2?ka?m?1①；
f(b)?b2?kb?m?1② a?ba?b2a?bf()?()?k()?m??1③
2222?a?b?a?b?f(a)?f(b)?2f()?4， ①+②-2?③知
22即b?a?22。
2017A 10、（本题满分20分）设x1,x2,x3是非负实数，满足x1?x2?x3?1，求
x?x1?3x2?5x3???x1?2?3★解析：由柯西不等式
?x3??的最小值和最大值。 5?2x??x?xx?x1?3x2?5x3??x1?x1?3x2?2?5x3?3??1 ?x1?2?3???35??35????当x1?1，x2?0，x3?0时取等号，故所求的最小值为1；
又?x1?3x2?5x3??x1???x2x3?15x??????x1?3x2?5x3??5x1?2?x3? 35?53??225x14x211?1?????????x1?3x2?5x3???5x1?2?x3???6x??6x3? ?154?3203?????1191?18x29?x?0，当，，时取等号，故所求的最小值为； x?x??6x??6x?21313??22520?35?
2017B 9、（本题满分16分）
设为实数，不等式2x?a?5?2x对所有x??1,2?成立，求实数a的取值范围。
★解析：设t?2，则t?[2,4]，于是|t?a|?|5?t|对所有t?[2,4]成立，由于
x2|t?a|?|5?t|?(t?a)2?(5?t)2，?(2t?a?5)(5?a)?0，
对给定实数a，设f(t)?(2t?a?5)(5?a)，则f(t)是关于t的一次函数或常值函数，注意
?f(2)?(?1?a)(5?a)?0，因此等价于，解得3?a?5 t?[2,4]f(t)?0??f(4)?(3?a)(5?a)?0所以实数a的取值范围是3?a?5.
2017B一、（本题满分40分）设实数a,b,c满足a?b?c?0，令d?maxa,b,c，证明：
??(1?a)(1?b)(1?c)?1?d2
★证明：当d?1时，不等式显然成立
以下设0?d?1，不妨设a,b不异号，即ab?0，那么有 (1?a)(1?b)?1?a?b?ab?1?a?b?1?c?1?d?0
因此(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c?1?c?1?d
2016A1、设实数a满足a?9a?11a?a，则实数a的取值范围为 ◆答案：a?(?
32222310,?) 33
9a3?11a|a|???1 ★解析：由a?|a|可得a?0，原不等式可变形为1?aa231010422,?)． 即?1?9a?11?1，所以a?(,)．又a?0，故a?(?3393
22016A一、（本题满分40分）设实数a1,a2,a3,?,a2016满足9ai?11ai?1（i?1,2,?,2015）. 2222求(a1?a2)(a2?a3)?(a2015?a2016)(a2016?a1)的最大值。 2222★解析：令P?(a1?a2)(a2?a3)?(a2015?a2016)(a2016?a1)
由已知得，对i?1,2,?,2015，均有ai?ai?1?2若a2016?a1?0，则P?0；下面考虑a20162112ai?1?ai2?1?0。 9?a12?0的情况.不妨记a2017?a1，由平均不等
式得
P1201620162016120161?20161?20161?2016?22?2????a?a?a?a?a?a?a1?a???????????ii?1ii?1iiii?2016i?12016?i?1i?1i?1?2016?i?1?2016?i?1???12016?ai?(1?ai)?111，当且仅当???2016?????2016i?1?2201644?112又9ai?11ai?1（i?1,2,?,2015），此时P?2016,a1?a2?a3???a2016?时取等号。
241即所求最大值为2016。
4
2016B 2、设A??a|?1?a?2?，则平面点集B??(x,y)|x,y?A,x?y?0?的面积为
◆答案：7
★解析：点集B如图中阴影部分所示，其面积为
1S正方形MNPQ?SMRS?3?3??2?2?7.
2
2015A6、在平面直角坐标系xOy中，点集
2K??(x,y)|(x?3y?6)(3x?y?6)?0?所对应的平面
区域（如图所示）的面积为
◆答案：24
★解析：设K1?{(x,y)||x|?|3y|?6?0}．
先考虑K1在第一象限中的部分，此时有x?3y?6,故这些点对应于图中的△OCD及其内部．由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD及其内部．
同理，设K2?{(x,y)||3x|?|y|?6?0}，则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部．
由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被K1、K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S．
由于直线CD的方程为x?3y?6，直线GH的方程为
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(6)不等式与线性规划
