课时分层训练(二十七) 等差数列及其前n项和
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( ) A．37 C．20
B．36 D．19
9×8
A [am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.]
2
2．(2017·台州二次调研)在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4
＝( )
A．4 C．5
??10a1＋45d＝60，
C [法一：由题意得?
?a1＋6d＝7，?
B．－4 D．－5
a1＝3，??
解得?2
d＝，??3
2
∴a4＝a1＋3d＝5，故选C.
10
法二：由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝又∵a7＝7，∴a4＝5，故选C.]
a1＋a10
＝60，∴a1＋a10＝12.
3．(2017·温州质检)已知数列{an}是等差数列，且a7－2a4＝6，a3＝2，则公差d＝( ) A．22 C．8
B．4 D．16
B [法一：由题意得a3＝2，a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝6，解得d＝4，故选B.
??a7－2a4＝a1＋6d－2法二：由题意得?
?a3＝a1＋2d＝2，?
a1＋3d＝6，
??a1＝－6，
解得?
?d＝4，?
故选B.]
4．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为( ) A．S7 C．S5
??a4＋a7＝a5＋a6<0，
C [∵?
?a5>0，?
B．S6 D．S4
??a5>0，
∴?
?a6<0，?
∴Sn的最大值为S5.]
5．(2017·湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相
逢？( ) 【导学号：51062165】
A．9日 C．16日
B．8日 D．12日
A [根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1＝103，公差d1＝13的等差数列，前
n天共跑的里程为S＝na1＋
nn－1
2
d1＝103n＋n(n－1)＝6.5n2＋96.5n；驽马每日行程
nn－1
2
132
也构成一个首项b1＝97，公差d2＝－0.5的等差数列，前n天共跑的里程为S＝nb1＋
d2＝97n－
0.5
n(n－1)＝－0.25n2＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n天相逢，2
2
2
则有6.5n＋96.5n－0.25n＋97.25n＝1 125×2，解得n＝9，即它们第9天相遇，故选A.]
二、填空题
6．(2017·浙江名校(绍兴一中)交流卷五)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则an＝________，a1＋a3＋…＋a99＝________.
??2a1＋4d＝10，
2n－1 4 950 [由题意得?
?a1＋3d＝7，?
??a1＝1，
解得?
?d＝2，?
∴an＝2n－1，
a1＋a3＋…＋a99＝50×1＋
5050－1
×4＝4 950.] 2
7．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________. 6 [∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0. ∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2. 6×
∴S6＝6a1＋
6－1
d＝6.] 2
2
8．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a2＝－3，S5＝10，则a9的值是________. 【导学号：51062166】
5×420 [法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d2＝2，即a1＝2－2d，所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a2＝－3，化简得d－6d＋9＝0，所以
2
2
d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
5a1＋a5
法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.
2由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a2＝－3，化简得a2＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.
公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.] 三、解答题
9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
2
2
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn. [解] (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋
Snnkk－1
2
2
·d＝2k＋
kk－1
2
×2＝k＋k.3分
2
由Sk＝110，得k＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.6分 (2)证明：由(1)得Sn＝则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，12分 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以Tn＝
n2＋2n2
＝n(n＋1)，
Snnn2＋n＋1
2
＝
nn＋3
2
.14分
10．(2017·温州市三次质检)等差数列{an}的首项a1＝1，公差d≠0，且a3·a4＝a12. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·2，求数列{bn}的前n项和Tn. 【导学号：51062167】
[解] (1)由a3·a4＝a12得(1＋2d)·(1＋3d)＝1＋11d?d＝1或d＝0(不合题意舍去)，∴数列{an}的通项公式为an＝n.6分
(2)依题意bn＝an·2＝n·2，
nnnTn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
2Tn＝1×2＋2×2＋…＋(n－1)×2＋n×2
1
2
3
2
3
nn＋1
，10分
两式相减得－Tn＝2＋2＋2＋…＋2－n×22
＝
1－21－2
nnn＋1
－n×2－2，
n＋1
＝(1－n)2∴Tn＝(n－1)2
n＋1
n＋1
＋2.15分
B组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．设数列{an}的前n项和为Sn，若
Sn为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等S2n差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为( )
高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和课时分层训练
